前缀和（一维、二维）

一维前缀和

数组：
$a_1,a_2,...a_n$
前缀和：
$S_i=a_1+a_2+...a_i$

1. 如何求：

S[0] = 0;
for (i = 1; i <= n; i++)
	S[i] = S[i - 1] + a[i];

2. 作用：
   能快速求出原数组一段数的和，例如[l,r]的和。
   S[r]-S[l-1]，时间复杂度O(1)，要是循环直接求是O(n)。

预处理是O(n)，每次询问是O(1)

问题：
输入一个长度为n的整数序列。
接下来再输入m个询问，每个询问输入一对l，r。
对于每个询问，输出原序列中从第l个数到第r个数的和。
输入格式
第一行包含两个整数n和m。
第二行包含n个整数，表示整数序列。
接下来m行，每行包含两个整数l和r，表示一个询问的区间范围。
输出格式
共m行，每行输出一个询问的结果。
数据范围
$1\le l\le r\le n$,
$1\le n,m\le 100000$,
$-1000\le 数列中元素的值\le 1000$

输入样例

输出样例

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;

int n,m;
int a[N],s[N];

int main()
{
    //输入比较多，所以用scanf
    //或者用cin,并写上：
    //ios::sync_with_stdio(false)
    //使cin和标准输入输出不同步，提高效率，但是不能用scanf了
    scanf("%d%d", &n, &m);
    
    for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);
    
    for (int i = 1; i <= n; i++) s[i] = s[i - 1] + a[i];
    
    while(m--)
    {
        int l,r;
        scanf("%d%d", &l, &r);
        printf("%d\n", s[r] - s[l - 1]);
    }
    
    return 0;
}

二维前缀和

求前缀和S[i][j]：
先加上左边和上边两块，再减去多余的，最后加上右下角的点。

for(int i = 1; i <= n; i++)
	for(int j = 1; j <= m; j++)
		S[i][j] = S[i - 1][j] + S[i][j - 1] - S[i - 1][j - 1] + a[i][j];

部分求和：

先计算大的，再减去红色的和绿色的，最后加上多减去的。

$S_{x2y2}-S_{x2(y1-1)}-S_{(x1-1)y2}+S_{(x1-1)(y1-1)}$

#include <iostream>

const int N = 1000 + 10;

int n, m, q;
int a[N][N], s[N][N];

int main()
{
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &q);
    
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= m; j++)
            scanf("%d", &a[i][j]);
    
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= m; j++)
            s[i][j] = s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1] + a[i][j];
    
    while(q--)
    {
        int x1, x2, y1, y2;
        scanf("%d%d%d%d", &x1, &y1, &x2, &y2);
        printf("%d\n", s[x2][y2] - s[x1 - 1][y2] - s[x2][y1 - 1] + s[x1 - 1][y1 - 1]);
    }
    
    return 0;
}