2020牛客寒假算法基础集训营3——F.牛牛的Link Power I【计算】【分治】

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题目描述

牛牛有一颗大小为n的神奇 数组，数组上的每一个节点都有两种状态，一种为 状态，另一种为 状态。数组上任意一对处于 状态的无序点对（即 和 被认为是同一对）会产生 的 能量，为数组上u到v的距离。

我们定义整个数组的 能量为所有处于 状态的节点产生的

一开始数组上每个节点的状态将由一个长度大小为 的 给出，，。

牛牛想要知道整个数组的 能量，为了避免这个数字过于庞大，你只用输出答案对取余后的结果即可。

输入描述:

第一行输入一个正整数

接下里一行输入一个长度大小为n的01串表示数组的初始状态，'1’表示Link状态，'0’表示Cut状态。

输出描述:

仅一行，表示整个数组的Link能量对

输入

3
101
5
00110
6
000010

输出

2
1
0

题解1

题解2

• 分治算法计算贡献，对于每一个区间，它的中点为

1. 左侧区间产生的贡献。
2. 右侧区间产生的贡献。
3. 过中点

• 那么对于1,2，我们可以使用递归求解，由于区间越分越小，所以最终复杂度总和为
• 考虑3，只需要暴力for左侧区间，统计左侧区间"1"的数目，以及它们到中点的和。
  时空复杂度为
• 这个方法虽然不够优秀，但是它可以扩展到线段树上面维护动态问题（也就是解决第二问），线段树其实就是保留了每次分治的结果。
• 如果学分治的话建议写一写。

AC-Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define
const int maxn = 1e5 + 7;
const int mod = 1e9 + 7;
 
int main() {
    ios;
    int n; string s;
    cin >> n >> s;
    ll ans = 0;
    ll num = 0;
    int cnt = 0;
    for (int i = 0; i < s.size(); ++i) {
        num = (num + cnt) % mod;    // 如果前面有cnt个1，那么每个1的位置往当前位置的距离都需要+1
        if (s[i] == '1') {
            if (cnt)
                ans = (ans + num) % mod;
            ++cnt;
        }
    }
    cout << ans << endl;
}

AC-Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 100005;
const int mod = 1e9 + 7;
char s[MAXN];
int n;
long long ans;
void div_algorithm(int l, int r) {
  if (l == r)     return;
  int mid = (l + r) >> 1;
  long long leftsum = 0;
  long long leftcnt = 0;
  for (int i = mid; i >= l; --i) {  
    if (s[i] == '1') {
      leftsum = (leftsum + mid - i) % mod;
      ++leftcnt;
    }
  }
  for (int i = mid + 1; i <= r; ++i) {
    if (s[i] == '1') {
      ans = (ans + leftsum + (i - mid) * leftcnt % mod) % mod;
    }
  }
  div_algorithm(l, mid);    // 计算左侧贡献
  div_algorithm(mid + 1, r);  // 计算右侧贡献
}
int main()
{
  scanf("%d", &n);
  scanf("%s", s + 1);
  div_algorithm(1, n);
  printf("%lld\n", ans);
  return 0;
}