💛 前情提要💛

本章节是数据结构的堆的相关知识~

接下来我们即将进入一个全新的空间，对代码有一个全新的视角~

以下的内容一定会让你对数据结构有一个颠覆性的认识哦！！！

❗以下内容以C语言的方式实现，对于数据结构来说最重要的是思想哦❗

以下内容干货满满，跟上步伐吧~

💡本章重点

• 堆的概念

• 堆的结构&实现

• 向上调整&向下调整重要算法思想

🍞一.堆的概念

🥐Ⅰ.什么是堆

• 堆总是一颗完全二叉树【满二叉树为特殊的完全二叉树】

• 堆又称为二叉树的顺序结构

  • 因为普通的二叉树不适合用数组来存储，可能会造成大量的空间浪费

  • 而完全二叉树用顺序结构存储是完全嵌合的，不会存在空间浪费

❗综上：

• 堆的逻辑结构为完全二叉树

• 堆的物理结构为数组

🥯Ⅱ.总结

✨综上：就是堆的概念啦~

➡️简单来说：堆为二叉树的顺序结构

【后续我们还会学习二叉树的链式结构哦~】

🍞二.堆

🥐Ⅰ.性质

💡在堆中： 某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值

• 大根堆：即当每个父亲结点的值总是≥孩子结点的值

• 小根堆：即当每个父亲结点的值总是≤孩子结点的值

❗特别注意：

• 小根堆的堆顶数据【即最上面的结点的值】：一定是整个完全二叉树中值最小的结点

• 大根堆的堆顶数据【即最上面的结点的值】：一定是整个完全二叉树中值最大的结点

• 若不满足上述条件，则表明不属于大根堆或小根堆中的任意一个，也就是说此完全二叉树不是堆

【虽然根结点的值一定是全部结点的值中最大或最小的，但大根堆、小根堆并不代表说数组元素是按照降序、升序排放的，这两者没有任何关系】

➡️重要规律：

通过数组的特性随机访问，如何用下标去找到父亲结点or孩子结点

• 假设某一个父亲结点下标为parent

• 所以此父亲结点的左孩子结点为：leftchild = parent*2 + 1

• 所以此父亲结点的右孩子结点为：leftchild = parent*2 + 2

• 所以：我们可以通过+1、+2的下标调整找到左孩子、右孩子

• 那此时我们就可以反推出：parent = （child - 1）/ 2

• 这是因为计算的是整型计算，即使是右孩子去用此算式虽然计算出来的下标是带有小数的，但下标的类型为整型，就会自动抹去小数，那此时的整数也就为右孩子的父亲结点的下标了

• 所以：我们就可以用一条算式去求得左、右孩子的父亲结点的下标了，无需用两条算式

✨综上：

• 我们便用顺序结构去实现堆

❗所以下面我们开始实现堆的接口

🍞三.堆接口实现

💡如下的实现围绕此原码进行： 以下以建大根堆为例

typedef int HPDataYtpe;

typedef struct Heap
{
	HPDataYtpe *a;
	int size; //记录目前数组内有几个数据
	int capacity;
	
}HP;

🥐Ⅰ.初始化堆（建堆）

👉简单来说：

• 拿一个数组的全部元素进行建堆，即对此数组的逻辑结构变为大堆

➡️实现：

• 1️⃣先将原先数组的内容全部拷贝至新创建的堆中

• 2️⃣将此堆里的元素排序进行调整，建为 大堆

🔥重点： 如何调整为大堆 - 也就是建堆

✊综上：向下调整算法的代码实现【时间复杂度：$O(logN)$】

void ADjustDown(int * a, int n, int parent)
{
	int child = parent * 2 + 1;

	while (child < n) 
	//当 孩子的下标 超出 数组的范围，则说明不存在
	{
		//1.选出左右孩子中，较小的一个
		//child -- 左孩子下标；child+1 -- 右孩子下标
		if (child + 1 < n && a[child + 1] > a[child])
		{
			//想象的时候：默认左孩子是比右孩子小
			//如果大的话，child就走到右孩子下标处
			child++;
		}

		//2.交换
		if (a[child] > a[parent])
		{
			Swap(&a[child], &a[parent]);
			parent = child;
			child = parent * 2 + 1;
		}
		else
		{
			//满足的情况
			break;
		}
	}
}

❓当左右子树都不是大堆时候，怎么办

• 上述仅用于左右子树都满足 大堆或小堆的情况，我们现在对于一个结点数值都是随机摆放的完全二叉树，是不能直接运用向下调整算法进行建堆的

• 那此时我们便可以创造条件：从后往前建堆

✊综上：建堆的代码实现【时间复杂度：$O(N)$】

for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)
{
	AdjustDown(php->a, php->size, i);
}

❗特别注意：

• a表示需要建堆的数组的首元素地址

• n为数组的a的元素个数

1️⃣建堆的函数声明：

void HeapInit(HP* php,HPDataYtpe* a,int n);

2️⃣建堆函数的实现：

void HeapInit(HP* php, HPDataYtpe* a, int n)
{
	assert(php);

	php->a = (HPDataYtpe*)malloc(sizeof(HPDataYtpe)*n);
	if (php->a == NULL)
	{
		printf("malloc fail\n");

		exit(-1);
	}
	
	//1.拷贝
	memcpy(php->a, a, sizeof(HPDataYtpe)*n);
	php->size = n;
	php->capacity = n;

	//2.建堆
	for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)
	{
		AdjustDown(php->a, php->size, i);
	}
}

🥐Ⅱ.入堆操作

👉简单来说： 对堆插入一个数据

➡️实现： 即对数组尾插一个数据

❗特别注意：

• 并不是插入堆就直接满足大堆，需要将刚插进来的数据经过比较放到能使整棵树满足大堆的位置，此时就涉及另外一个算法：向上调整算法

  • 对插入的数据进行向上调整，仅会对插入数据所在的路径产生影响，并不像向下调整算法会影响到整棵树

  • 因为我们插入进来的时候，完全二叉树已经满足大堆【即父亲结点的值≥孩子结点的值】，所以向上调整算法将插入的结点直接与父亲结点的值进行比较即可（无需与自己的兄弟结点比较）

    • 若大于父亲结点的值，则不满足大堆，需要将插入进来的结点与其父亲结点交换，并继续向上与新的父亲结点进行比较

    • 直至插入的结点已经到达根部【即数组下标为0处】 ，就结束调整，表示已到达合适的位置

    • 若小于父亲结点的值，则表明此时也已满足大堆，插入进来的结点已经到达合适的位置了

✊综上：向上调整代码实现

void Adjustup(int*a, int child)
{
	int parent = (child - 1) / 2;
	while (child = 0)  //等于0的时候就中止 
	{
		if (a[child] > a[parent])
		{
			Swap(&a[child], &a[parent]);
			child = parent;
			parent = (child - 1) / 2;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

👉Eg： 假如现在对堆插入一个值为10的结点

✊动图示例：

1️⃣入堆的函数声明：

void HeapPush(HP* php, HPDataYtpe* x);

2️⃣入堆函数的实现：

void HeapPush(HP* php, HPDataYtpe* x)
{
	assert(php);
	//满了
	if (php->size == php->capacity)
	{
		//增容
		HPDataYtpe* tmp = realloc(php->a, php->capacity * 2 * sizeof(HPDataYtpe));
		if (tmp == NULL)
		{
			printf("realloc fail\n");
			exit(-1);
		}
		php->a = tmp;
		php->capacity *= 2;
	}

	php->a[php->size] = x;
	php->size++;

	//向上调整算法
	Adjustup(php->a, php->size);
}

🥐Ⅲ.删除堆顶数据

👉简单来说： 对堆顶删除一个元素

➡️实现： 即删除数组的第一个元素

❗特别注意：

• 如果直接删除堆顶的数据的，那就需要后面的整体数据往前挪动【$O(N)$】，并树的结构也发生改变，需要重新建堆【$O(N)$】，才能再次满足堆为大堆

• 那我们此时就可以先将堆顶和堆尾的值交换，并删除末尾的元素（因为已经交换了，所以到达删除堆顶元素的目的），最后再建堆一次即可【这样就比上面的方法少执行了$O(N)$次】

✊动图示例：

1️⃣出栈的函数声明：

void HeapPop(HP* php);

2️⃣出栈函数的实现：

void HeapPop(HP* php)
{
	assert(php);
	assert(php->size > 0);

	Swap(php->a[php->size - 1], php->a[0]);
	// 交换到末尾后，删掉末尾数据【原堆顶】
	php->size--;

	AdjustDown(php->a, php->size, 0);
}

🥐Ⅳ.取堆顶数据

👉简单来说： 返回堆顶的数据

➡️实现： 即返回一个顺序表中第一个数据

❗特别注意：

• 需要判断顺序表此时是否为NULL（空表），如果是则不能返回了

1️⃣返回堆顶数据的函数声明：

HPDataYtpe HeapTop(HP* php);

2️⃣返回堆顶数据函数的实现：

HPDataYtpe HeapTop(HP* php)
{
	assert(php);
	assert(php->size > 0);

	return php->a[0];
}

🥐Ⅴ.判断堆是否为NULL

👉简单来说： 就是判断size是否为0

➡️实现： 因为size表示的是堆内的数据个数

• size为0，堆就为空

• 否则，堆为非空

1️⃣判断堆是否为NULL的函数声明：

bool HeapEmpty(HP* php);

2️⃣判断堆是否为NULL函数的实现：

bool HeapEmpty(HP* php)
{
	assert(php);

	return php->size == 0;
}

🥐Ⅵ.获取堆内数据的个数

👉简单来说： 返回堆内数据个数

➡️实现： 返回size即可

1️⃣返回堆内数据个数的函数声明：

int HeapSize(HP* php);

2️⃣返回堆内数据个数函数的实现：

int HeapSize(HP* php)
{
	assert(php);

	return php->size;
}

🥐Ⅶ.堆的销毁

👉简单来说： 对堆进行空间释放

➡️实现： 与顺序表的销毁操作一样

1️⃣堆的销毁的函数声明：

void  HeapDestroy(HP* php);

2️⃣堆的销毁函数的实现：

void  HeapDestroy(HP* php)
{
	assert(php);
	free(php->a);
	php->a = NULL;

	php->capacity = php->size = 0;
}

🥯Ⅷ.总结

✨综上：就是堆的接口实现的内容啦~

➡️相信大家对堆有不一样的看法了吧🧡

🫓总结

综上，我们基本了解了数据结构中的 “堆” 🍭 的知识啦~~

恭喜你的内功又双叒叕得到了提高！！！

感谢你们的阅读😆

后续还会继续更新💓，欢迎持续关注📌哟~

💫如果有错误❌，欢迎指正呀💫

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