回顾一下 01 背包问题 （每个物品只能选一次）

集合划分的依据：用“最后一步”来划分 

 完全背包问题：每个物品可以选 0,1,2,3... 个

 通过比较可以得到：

背包问题的注意事项 

1. 当空间优化到1维之后，只有完全背包问题的体积是从小到大循环的       
2. for 物品
       for 体积
           for 决策

AcWing 6. 多重背包问题 III 

#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 20010;

int n, m;
int f[N], g[N], q[N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for (int i = 0; i < n; i ++ )
    {
        int v, w, s;
        cin >> v >> w >> s;
        memcpy(g, f, sizeof f);
        for (int j = 0; j < v; j ++ )
        {
            int hh = 0, tt = -1;
            for (int k = j; k <= m; k += v)
            {
                if (hh <= tt && q[hh] < k - s * v) hh ++ ;
                while (hh <= tt && g[q[tt]] - (q[tt] - j) / v * w <= g[k] - (k - j) / v * w) tt -- ;
                q[ ++ tt] = k;
                f[k] = g[q[hh]] + (k - q[hh]) / v * w;
            }
        }
    }

    cout << f[m] << endl;

    return 0;
}

AcWing 423. 采药 

这是01背包问题的简单应用 

#include <iostream>

using namespace std;


const int N = 1010;

int n, m;
int f[N];

int main()
{
    cin >> m >> n;
    for(int i = 0; i < n; i ++ )
    {
        int v, w;
        cin >> v >> w;
        for(int j = m; j >= v; j -- ) f[j] = max(f[j], f[j - v] + w);
    }
    
    cout << f[m] << endl;
    
    return 0;
}

AcWing 1024. 装箱问题 

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 200010;

int m, n;
int f[N];

int main()
{
    cin >> m >> n;
    for(int i = 0; i < n; i ++ )
    {
        int v;
        cin >> v;
        for(int j = m; j >= v; j --) f[j] = max(f[j], f[j - v] + v);
    }
    
    cout << m - f[m] << endl;
    return 0;
}

AcWing 1022. 宠物小精灵之收服 

1. 花费1：精灵球的数量
2. 花费2：皮卡丘的体力值
3. 价值：小精灵的数量

状态计算：

最多收服的小精灵数量：

最小消耗的体力：

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 1010, M = 510;

int n, V1, V2;
int f[N][M];

int main()
{
    cin >> V1 >> V2 >> n;
    for(int i = 0; i < n; i ++ )
    {
        int v1, v2;
        cin >> v1 >> v2;
        for(int j = V1; j >= v1; j -- )
            for(int k = V2; k >= v2; k --)
                f[j][k] = max(f[j][k], f[j - v1][k - v2] + 1);
    }

    cout << f[V1][V2 - 1] << ' ';
    int k = V2 - 1;
    while(k > 0 && f[V1][k - 1] == f[V1][V2 - 1]) k --;
    cout << V2 - k << endl;

    return 0;
}