Subpermutation-2021中国大学生程序设计竞赛（CCPC）- 网络选拔赛（重赛）-1008

好久没写过题解了,模了好长时间的题终于过了，由此写篇题解。
题目链接
题意就不详细说明了。
反思

接下来开始分类讨论。

• 第一种情况也就是最简单的情况先考虑由每个单独$n$元排列而产生的$m$元排列，通俗的讲也就是单独的$n$元排列对答案做出的贡献。
  $p_1,p_2,\dots ,p_n$中出现的$p_1,p_2,\dots ,p_m$
  做出的贡献为$m!\ast (n-m+1)!$

• 第二种情况比较复杂也很容易想到也就是两个$n$元排列的首尾对答案做出的贡献
  下面我们应该分析这个$n$排列与与下一个$n$元排列存在这什么恶心关系呢？
  最开始是这样一个$n$元排列$$p_1<p_2<p_3<\cdots <p_n$$
  它最终的形式应该是这样的
  $$p_1>p_2>p_3>\cdots >p_n$$
  通过打表或者是其他的分析而得(我是打表
  在一个$n$元排列里面存在最后一个$<$关系的$p_k<p_{k+1}$这个$p_k$要被这个排列从后往前数第一个比它大的数替换然后整体倒着来。
  比如一个$n$元排列是这样的$$p_1<p_2>p_3<p_4<\cdots <p_k<p_{k+1}>\cdots >p_j>\cdots >p_n$$
  假设$p_j$是从右往左数第一个比$p_k$大的元素
  它的下一个排列必然是
  $$p_1<p_2>p_3<p_4<\cdots <p_j>p_n<p_{n-1}<\cdots <p_{j+1}<p_k<p_{j-1}<\cdots <p_{k+1}$$

那你肯定有个$p_i$为$m$元排列的起始点

• • 再进行分类讨论当$i\le k$时
    单独讨论这个排列
    $$p_i\dots p_k,p_{k+1},p_{k+2},\dots ,p_j,\dots ,p_n,p_1,p_2\dots p_{i+m-1-n}$$

• • 而当$i\ge (k+1)$时

讨论完毕。
最后答案化简得
$$(m-1)\ast m!\ast (n-m)!-m!\ast \sum _{i=1}^{m-1}\frac{1}{i^2}$$