2021年第十二届蓝桥杯省赛C/C++B组题解 试题E: 路径

问题描述

	小蓝学习了最短路径之后特别高兴，他定义了一个特别的图，希望找到图中的最短路径。
	小蓝的图由 2021 个结点组成，依次编号 1 至 2021。
	对于两个不同的结点 a, b，如果 a 和 b 的差的绝对值大于 21，则两个结点之间没有边相连；如果 a
和 b 的差的绝对值小于等于 21，则两个点之间有一条长度为 a 和 b 的最小公倍数的无向边相连。
	例如：结点 1 和结点 23 之间没有边相连；结点 3 和结点 24 之间有一条无向边，长度为 24；结点 
15 和结点 25 之间有一条无向边，长度为 75。
	请计算，结点 1 和结点 2021 之间的最短路径长度是多少。
	提示：建议使用计算机编程解决问题。

解题思路

解题主要思路就是求最短路径，而求最短路及可以用Dijkstra迪杰斯特拉算法。先结合题意，求出结点之间的直接距离，这里还涉求最大公因数和最小公倍数，然后调用Dijkstra函数求出结点1到结点2021的最短路径长度。
迪杰斯特拉算法

代码实现

// 编程软件：Dev-C++ 5.11
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring> // 使用memset函数需要用到 
#include<cmath>
using namespace std;

const int N=2200;
int g[N][N]; // 记录点i到j的直接距离 
int dist[N]; // 记录结点1到结点i的最小距离 
bool vis[N]; // 标记结点
int n=2021;

// 求a和b的最大公因数 
int gcd(int a, int b){
    return b ? gcd(b, a % b) : a;
}

// 求a和b的最小公倍数 
int lcm(int a,int b){
    return a*b/gcd(a,b);
}

// Dijkstra迪杰斯特拉算法(求最短路径) 
int dijkstra(){
    memset(dist,0x3f3f3f3f,sizeof dist); // 全部初始化为无穷大 
    memset(vis,false,sizeof(vis)); // 全部初始化为未标记 
    dist[1]=0; // 结点1到结点1的距离为0 

    for(int i=1;i<=n;i++){
        int minx=0x3f3f3f3f; // 记录最小值，先初始化为无穷大 
        int minmark; // 记录当前dist数组中最小结点 
        // 求当前dist数组中最小的值，并将该节点做标记 
        for(int j=1;j<=n;j++){
            if(vis[j]==false&&dist[j]<=minx){
            	minx = dist[j];
            	minmark = j ;
			}
        }
        vis[minmark]=true; // 标记该节点 
        // 将dist数组中标记后，更试着新全部结点的最小路径 
        for(int j=1;j<=n;j++){
        	if(vis[j]==false&&dist[j]>dist[minmark]+g[minmark][j])
                dist[j]=dist[minmark]+g[minmark][j];
        }
    }
    return dist[n];
}

// 主函数
int main(){
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++){
            if(i!=j){
                if(fabs(i-j)<=21){
                    g[i][j]=lcm(i,j); // 最小公倍数 
                    g[j][i]=lcm(i,j); 
                }
                else{
                    g[i][j]=0x3f3f3f3f; // 无穷大 
                    g[j][i]=0x3f3f3f3f;
                }
            }
        }
    cout<<dijkstra();
    return 0;
}
// 答案：10266837