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【每日算法Day 74】经典面试题:约瑟夫环,我敢打赌你一定不会最后一种方法!...


题目链接

LeetCode 面试题62. 圆圈中最后剩下的数字[1]

题目描述

这 个数字排成一个圆圈,从数字 开始,每次从这个圆圈里删除第

例如, 这 个数字组成一个圆圈,从数字 开始每次删除第 个数字,则删除的前 个数字依次是 ,因此最后剩下的数字是 。

示例1

输入:
n = 5, m = 3
输出:
3

示例2

输入:
n = 10, m = 17
输出:
2

说明:



题解

循环链表

用一个循环链表按顺序存储 到 中的数,然后每

这种方法时间复杂度是

递推法

首先 个人的编号依次是 ,然后踢掉了编号为 的人,这时候剩下的人编号为

下一个踢掉的人就要从 开始数了,所以我们把剩下的人编号从 开始重新排个序,变成 。这样编号又变成连续的了,而问题规模缩减成了

剩下的这 个人的编号我们做一下映射,映射成 ,这样就能递推下去求解了。映射的公式就是,映射后的编号为 ,那么映射之前的编号就是

也就是说,如果我们求出了 个人最后剩下的人编号 ,那么 个人最后剩下的人编号就是

用 表示

这样的话时间复杂度就降到了

对于本题这个方法已经够用了,但是如果 非常大,比如 ,但是 不是很大,比如

递推法加速

注意观察上面的递推式 ,如果 很小,而 很大的话,递推到后面要加很多次 才会对 求余。所以我们可以直接一下子加很多次

加了 次

假设加了 次 之后才产生了取余,那么就有 ,即 。所以每次都可以加 个 ,代码实现时用下取整,也就是

此外还需要注意,如果发现

这个方法时间复杂度不是很好分析,但应该也是对数级别的。

数学法

这个方法在我之前的文章中已经讲过了:

​​具体数学-第8课(取整进阶)​​

韦阳的博客:具体数学-第8课(取整进阶)[2]

知乎专栏:具体数学-第8课(取整进阶)[3]

知乎高赞回答也整理过了一遍:

世界上有哪些代码量很少,但很牛逼很经典的算法或项目案例?[4]

大致思想也是重新编号,做编号映射,但是和上面递推法不同的是复杂度降到了对数级别。

这里就不详细讲了,大家可以去看上面的文章,这里直接给出伪代码:

D = 1
while D <= (m-1)n:
D = k
ans = mn+1-D

其中

不过这个这里的编号是 到 ,所以最后答案要减去

这种方法将时间复杂度降到了 ,用对数换底公式后得到

可以看出,这种方法适用于 特别大,但是 特别小的情况。否则的话如果

代码

递推法(c++)

class Solution {
public:
int lastRemaining(int n, int m) {
int last = 0;
for (int i = 2; i <= n; ++i) {
(last += m) %= i;
}
return last;
}
};

递推法加速(c++)

class Solution {
public:
int lastRemaining(int n, int m) {
if (m == 1) return n-1;
int last = 0, t = 1;
for (int i = 2; i <= n; i+=t) {
t = (i-last+m-3) / (m-1);
if (i+t-1 > n) {
last += (n-i+1)*m;
break;
}
(last += t*m) %= (i+t-1);
}
return last;
}
};

数学法(c++)

class Solution {
public:
int lastRemaining(int n, int m) {
long D = 1, end = (long)n*(m-1);
while (D <= end) {
D = (m*D+m-2) / (m-1);
}
return (long)n*m-D;
}
};

参考资料

[1]

LeetCode 面试题62. 圆圈中最后剩下的数字: ​​https://leetcode-cn.com/problems/yuan-quan-zhong-zui-hou-sheng-xia-de-shu-zi-lcof/​​

[2]

韦阳的博客:具体数学-第8课(取整进阶): ​​https://godweiyang.com/2018/04/16/concrete-math-8/​​

[3]

知乎专栏:具体数学-第8课(取整进阶): ​​https://zhuanlan.zhihu.com/p/35820332​​

[4]

世界上有哪些代码量很少,但很牛逼很经典的算法或项目案例?: ​​https://www.zhihu.com/question/358255792/answer/974983270​​

【每日算法Day 74】经典面试题:约瑟夫环,我敢打赌你一定不会最后一种方法!..._递推

作者简介:godweiyang知乎同名华东师范大学计算机系硕士在读,方向自然语言处理与深度学习喜欢与人分享技术与知识,期待与你的进一步交流~


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