快速幂算法

【二进制快速幂】

比如我们计算pow(3,5)，将5改写成二进制101，我们可以将算法过程写成以下形式：

这就将原本的4次乘法改成了2次乘法，其次我们将每个乘积项设成x，每次对x进行平方，从而构造下一个乘积项。当二进制的当前位为1时，将当前乘积项x乘入最终结果，否则不乘入最终结果（即当前乘积项为1）。

可借助位运算来实现：

• n表示当前指数
• n & 1//判断n最后一位的奇偶，奇数则说明需要把当前乘积项x乘入最终结果
• n>>=1//把 n 的二进制右移一位，并赋给当前的n，最后一位为1，则需要将当前乘积项乘入最终结果

还需要注意的是，当指数n为负数时，我们将底数改造成倒数，在把指数改造成正数。
如果直接对负数进行移位操作，会有很多不符合预期的地方
比如当前指数是-1，-1的反码为全1，右移后高位补符号位，仍是全1，当前指数不变，不会变成0，循环不会退出

double myPow(double x, int n) {
    double res = 1;
    long long b = n;
    if( b < 0 ){
        x = 1 / x;
        b = -b; //直接把int的负数取反会溢出，由于b的值只有int范围，所以不会溢出
    }
    while(b){
        //当前位为1时，需要把这时的X计入结果
        if( b & 1 ){
            res *= x;
        }
        x *= x;//构造下一个乘积项
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

快速幂递归写法

和上述的迭代写法效率一样

double getPow(double x, int b){
        if( b == 0 ) return 1; //设置出口
        double temp = getPow(x,b>>1);
        return b & 1 ? temp * temp * x : temp * temp;
    }

    double myPow(double x, int n) {
        long long b = n;
        if(b < 0){
            b = -b;
            x = 1 / x;
        }
        double temp = getPow(x,b>>1);
        return b & 1 ? temp * temp * x : temp * temp; //判断n的奇偶
    }

关于快速幂的取模公式

公式1：

公式2：

这题主要用到公式2和快速幂

#include<iostream>

using namespace std;

const long long mod = 1e9+7;

int main(){
    int n;
    long long x = 3;
    long long res = 1;
    while(cin >> n){
        while(n){
            if(n & 1){
                res = ((res % mod) * (x % mod)) % mod;//最终结果每次也取模
            }
            //将每次的乘积项取模
            x = ((x % mod) * (x % mod)) % mod;//之前x定义为int，这里会溢出
            n >>= 1;
        }
        cout<<res<<endl;
    }
    return 0;
}