阿贝尔定理：
如果幂级数
在 点 x = x₀(x₀≠0)处收敛， 则对于适合不等式 |x| < |x₀|的一切x, 都有幂级数
在点 x 处绝对收敛； 反之，如果幂级数
在点 x = x₀ (x₀≠0)处发散， 则对于适合不等式 |x| > |x₀|的一切 x, 都有幂级数
在点 x发散。
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
这个定理告诉我们， 若存在x₀ ≠ 0, 使得幂级数
在点x₀ 处收敛， 则原幂级数在开区间(-|x₀|, |x₀|)内处处绝对收敛；
若存在x₁, 使得原幂级数在点x₁处发散， 则原幂级数 在(- ∞, -|x₁|) ∪ (|x₁|, +∞)内处处发散。
~~~~~~~~~~~~
容易看出，对于这样的幂级数， 必然存在一个正数 R>0, 使得对于满足|x| < R的一切x, 都有该幂级数绝对收敛， 从而该幂级数收敛； 对于满足 |x| >R的一切x, 都有该幂级数发散； 对于 x = ±R这两点， 幂级数的敛散性不能确定， 需要具体分析。
有以下定义： 定义R为原幂级数的收敛半径， 称开区间(-R, R) 为该幂级数的收敛区间。
可以看到，区间的定义就是一个开区间。
