LeetCode233数字1的个数-容易理解的组合数学方法-CFANZ编程社区

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题目

给定一个整数 n，计算所有小于等于 n 的非负整数中数字 1 出现的个数。

示例 1：

输入：n = 13
输出：6
示例 2：

输入：n = 0
输出：0

提示：

0 <= n <= 1e9

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode.cn/problems/number-of-digit-one
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解题思路

这里面的例子有问题, 说是0~10^9, 结果早就超出1e9了…

首先来看这样一个例子:13, 怎样来计算数字1的个数呢?

一个比较直观的思路就是先计算1~10中数字1的个数, 然后计算11~13中数字1的个数.

显然: 1~10中含有的1的个数为2, 但是在11~13中, 应该怎么计算呢? 这里可以进一步分解计算, 先计算个位中含有1的数量, 这里的话就是先计算1~3的1的个数, 即为1, 然后对上一位(即十位1)分类讨论, 如果是1, 那么1的个数就要加上13-10=3, 这样才能计算出总的1的个数,即最终的答案为2+1+3=6.

有了这个分析, 我们下面只需要找出计算1~10这样类型的数字1个数公式即可, 进一步可以推广为计算:

怎么找出这个公式呢, 先以100为例进行分析, 对于100, , 那么由组合数学的基本计数原理, 对十位和个位中能取到的数进行分类讨论, 对于仅含有1个1的数, 1可以固定在个位或者十位或者百位, 这样的情况有个, 这里包含了十位为0的情况, 这样就不用额外讨论10以内的数了, 最后的1是针对百位而言的, 然后是含有两个1的数, 显然这样的数只有一个, 即11, 那么就可以得到:

这里偷个懒, 我找到了一个计算1~1eN中1的数目的公式, 调用了一下LeetCode的提交API, 即:

证明过程也比较Trival, 就是幂级数的求导整理运算, 首先通过逐位计算1的数量得到下面的式子,

写成求和的形式, 可得到:

记

两边对积分得到:

于是得到:

但是, 只有这一个例子是不行的, 还不能得到的表达式.(因为A需要大等1)

下面再来看7000这个数, 同100的讨论, 要计算,需要分别计算仅含有1个1的数, 含有两个1的数, 含有三个1的数以及含有4个1的数, 可以得到:

这里要注意对首位(本例中为千位)的讨论, 这里的乘以6指的是只能选0,2,3,4,5,6这6个数, 才能保证1的个数确定, 整理一下, 就可以得到最后的结果:

这里在写代码的时候为方便, 直接用Python的组合数API了, 就是from math import comb, 比较方便, 要是自己写的话也不难, 尾递归实现阶乘然后套公式即可.

代码

from math import comb


class Solution:
    def countDigitOne(self, n: int) -> int:
        if n == 0:
            return 0

        def count1(A, B):
            if A == 0:
                return 0
            elif B == 0:
                return 1
            elif A == 1:
                return B * 10**(B - 1) + 1
            else:
                A -= 1
                tmp = 9**B + A * 9**(B - 1) * B + B + 1
            for i in range(2, B + 1):
                tmp += i * (9**(B - i + 1) * comb(B, i - 1)) + \
                    i * (A * 9**(B - i) * comb(B, i))
            return tmp

        def digit(n):
            # 计算位数
            arr = []
            while n:
                arr.append(n % 10)
                n //= 10
            return arr
        arr = digit(n)
        dgt = len(arr)
        ans = 0
        flag1 = 0
        for i in range(dgt - 1, -1, -1):
            ans += count1(arr[i], i)
            flag1 += 1 if arr[i] == 1 else 0
            if i > 0 and flag1:
                ans += arr[i - 1] * flag1 * 10**(i - 1)
        return