离散数学笔记整理（个人向）

1. 集合

1.1. 概念

• 等势：A、B两集合间存在一一对应的关系，则称A与B等势，记为 A ~ B。
• 可数集合：与自然数集合N等势的集合。集合基数为阿列夫零。包括：正奇数集合，质数集合，有理数集合Q。
• 不可数集合：与开区间(0, 1)等势的集合。集合基数为阿列夫。

1.2. 特殊集合

自然数集N，有理数集Q，实数集R，空集∅，全集E，A的幂集P(A) = {x | x ⊆ A}

1.3. 集合运算

• 异或（对称差）：去掉两个集合交集的元素，再并起来

2. 命题逻辑

2.1. 联结词

1. 蕴涵联结词：P → Q

   • 如果P，则Q
   • 因为P，所以Q
   • 只要P，就Q
   • P仅当Q
   • 只有Q，才P
   • 除非Q，才P
   • 除非Q，否则¬P

2. 优先级：否定、合取∧、析取∨、蕴涵、等价

2.2. 命题公式

分类：重言式（永真）、矛盾式（永假）、可满足式（有真）

2.3. 等价关系

• 等值式：若A ↔ B是重言式，则记为等值式A ⇔ B，也即A与B等价。
• 吸收律：G ∧ (G ∨ H) = G；G ∨ (G ∧ H) = G
• 蕴涵式：G → H = ¬G ∨ H
• 等价式：G ↔ H = (G → H) ∧ (H → G)

2.4. 范式

• 文字：命题变元或命题变元的否定
• 子句：文字析取构成
• 短语：文字合取构成
• 析取范式：由短语析取构成
• 合取范式：由子句合取构成
• 主析取范式：极小项，文字默认为真，真值表找1
• 主合取范式：极大项，文字默认为假，真值表找0

2.5. 推理

基本推理形式

• 推理有效：前提都为真，则结论为真。
• 判定定理：A₁，A₂，…，An → B为重言式，当且仅当A₁，A₂，…，An ⇒ B有效。
• 证明有效：
  1. 真值表法
  2. 等值演算法
  3. 主析取范式法（包含所有极小项则为重言式）

自然演绎法

• 概念：给若干前提，推出一个结论

• 推理定律：

  1. 附加律：A ⇒ A ∨ B或B ⇒ A ∨ B
  2. 简化律：A ∧ B ⇒ A或A ∧ B ⇒ B
  3. 假言推理：A → B，A ⇒ B
  4. 拒取式：A → B，¬B ⇒ ¬A
  5. 析取三段论：A ∨ B，¬B ⇒ A
  6. 假言三段论：A → B，B → C ⇒ A → C
  7. 构造性二难：A → B，C → D，A ∨ C ⇒ B ∨ D
  8. 破坏性二难：A → B，C → D，¬B ∨ ¬D ⇒ ¬A ∨ ¬C
  9. 合取引入：A，B ⇒ A ∧ B

• 推理规则（自然推理系统）：

  1. 规则P（前提引入规则）：推导过程中，可随时引入前提集合中任一个集合。
  2. 规则T（结论引入规则）：推导过程中，可随时引入由一个或多个前提推导出来的中间结果。
  3. 规则CP（置换规则）：如果能由前提集合Γ与公式P推出结论S，则能由Γ推出P → S。
  4. 上面八条推理定律形成的规则

• 证明推理：

  1. 直接证明法
  2. 附加前提证明法：用规则CP
  3. 归谬证明法（反证法）：将结论否定式作为前提，用直接证明法推出矛盾式。原理如下：
     ① 若证A₁，A₂，…，An ⇒ B
     ② 即证A₁，A₂，…，An → B为重言式
     ③ 又由蕴涵式：¬(A₁ ∧ A₂ ∧ … ∧ An) ∨ B为重言式
     ④ 由反证法：A₁ ∧ A₂ ∧ … ∧ An ∧ ¬B为矛盾式。

3. 谓词逻辑

3.1. 概念

• 个体、谓词、量词

• ∀x(P(x) → Q(x))：在个体域D中的任意x，如果其有性质P，则其就有性质Q。

  1. x是个体变元
  2. ∀x是全称量词（全称用→，存在用∧）
  3. P、Q是谓词，也被称为原子公式

• 公式：全称合式公式，原子公式是合式公式，¬P，P∨Q，P∧Q，P→Q，P↔Q都为合式公式，带量词的合式公式也是合式公式。

• 约束变元：个体变元x在使用变元x量词的辖域内，则称x为约束变元。

• 自由变元：不在辖域内则成为自由变元。

• 闭式：一个公式内无自由变元，则称该公式为闭式。

3.2. 谓词公式

分类：永真式（逻辑有效式）、矛盾式（永假式）、可满足式

3.3. 公式等价关系

• 等价：若公式P ↔ Q是永真式，则P ⇔ Q是等值式，也即公式P与公式Q等价。
• 共有：命题公式的等价关系在谓词公式中依然成立。
• 特有：P、Q含有变元x，S不含变元x
  1. 改名规则：∀xP(x) = ∀yP(y)；存在量词同理
  2. 量词转换律：¬∀xP(x) = ∃x¬P(x)；¬∃xP(x) = ∀x¬P(x)
  3. 量词辖域扩展/收缩律：
     • ∀x(P(x) ∧ S) = ∀xP(x) ∧ S；析取同理，存在量词同理。
     • ∀x(P(x) → S) = ∃xP(x) → S；存在量词同理。
     • ∀x(S → P(x)) = S → ∀xP(x)；存在量词同理。
  4. 量词分配律：
     • ∀x(P(x) ∧ Q(x)) = ∀xP(x) ∧ ∀xQ(x)
     • ∃x(P(x) ∨ Q(x)) = ∃xP(x) ∨ ∃xQ(x)
  5. 无法用量词分配的情况：
     • ∀xP(x) ∨ ∀xQ(x) = ∀x(∀y)(P(x) ∨ Q(y))
     • ∃xP(x) ∧ ∃xQ(x) = ∃x∃y(P(x) ∧ Q(y))

3.4. 范式

• 前束范式：将¬内移到原子公式前，量词在公式最前端。利用谓词公式等价关系将一个公式转化成前束范式。

3.5. 推理

推理形式

• 判定定理：类比于命题推理，A₁，A₂，…，An → B为永真式，当且仅当A₁，A₂，…，An ⇒ B有效。

推理定律

1. 命题的推理定律仍适用于谓词推理
2. 每个谓词逻辑的基本等值式，都可以推出两条推理定律，如由¬∀xP(x) = ∃x¬P(x)：
   ¬∀xP(x) ⇒ ¬P(x)；¬P(x) = ¬∀xP(x)
3. 两条特殊的定律：
   • ∀xP(x) ∨ ∀xQ(x) ⇒ ∀x(P(x) ∨ Q(x))
   • ∃x(P(x) ∧ Q(x)) ⇒ ∃xP(x) ∧ ∃xQ(x) 合取的存在推出存在的合取

推理规则（自然推理系统）

1. 命题中的所有推理规则
2. UI（全称消去规则，用于消去全称量词）：∀xP(x) ⇒ P©，c为任意个体常量；或∀xP(x) ⇒ P(y)，不产生歧义即可。
3. EI（存在消去规则）：
   • ∃xP(x) ⇒ P©，c为使P©为真的特定个体常量
   • ∃xP(x, y) ⇒ P(f(y), y)
4. UG（全称引入规则，用于引入全称量词）：P(y) ⇒ ∀xP(x)，不产生歧义即可
5. EG（存在引入规则）：P© ⇒ ∃xP(x)，c为特定个体常量；或P(x) ⇒ ∃yP(y)

• 推理过程：消去量词；命题推理；如果结论中有量词，则最后引入量词。
  如果消去量词同时用到了UI和EI，先用EI，再用UI（因为EI中的个体常量必须满足P© = 1，若先用UI，得到的个体常量不一定满足该条件）。
  若一个变量用EI规则消去量词，则其引入量词时只能用EG规则；而采用UI规则消去的，引入量词时UG和EG都可用。这是由规则的性质决定的。

4. 二元关系

4.1. 概念

• 有序对：<x, y>称为有序对，或序偶。

• 笛卡尔积：若有集合A，B，则集合A×B = {<x, y>|(x∈A)∧(y∈B)}是集合A与B的笛卡尔积。

• 二元关系：要么是空集，要么是元素为有序对的集合，记为R。若<x, y>∈R，则记作xRy。A与B间关系的种类为$2^{|A|\cdot |B|}$，A上的关系的种类为$2^{|A|²}$。
  R的定义域domR，值域ranR，域fldR = domR ∪ ranR；A称为前域，B为后域。

• 几个重要关系：

  1. R = ∅，则R为空关系
  2. R = A×B，则R为A到B的全关系，记为$E_A$
  3. R = $I_A$ = {<x, x>|x∈A}，则R为A上的恒等关系

• 关系表示：枚举、图形、关系矩阵（是布尔矩阵）

4.2. 关系运算

• 布尔矩阵运算：交∧、并∨、积⊙（矩阵乘法）

• 关系运算：

  1. 并∪、交∩、差-、补。
  2. 复合R ◦ S：<x, y> ◦ <y, z> = <x, z>，是从A到C的关系；R和S关系矩阵作布尔积运算，得到结果即为R ◦ S的关系矩阵。
  3. 逆$R^{-1}$：<x, y>变为<y, x>；R的关系矩阵转置即为R的逆。
  4. 限制 R $\uparrow$ A = {<x, y> | x ∈ A ∧ xRy}
  5. 像 R[A] = ran(R | A)

• 运算性质：

  1. 复合运算结合律与同一律（$I_A$ ◦ R = R ◦ $I_A$ = R）
  2. 复合分配律：
     • R ◦ (S ∪ T) = R ◦ S ∪ R ◦ T，左复合同理
     • R ◦ (S ∩ T) ⊆ R ◦ S ∩ R ◦ T，左复合同理
  3. 逆运算：
     • $(R◦S{)}^{-1}$ = $S^{-1}$ ◦ $R^{-1}$
     • $(R\cup S{)}^{-1}$ = $R^{-1}$ ∪ $S^{-1}$，交和差同理
     • domR = $ran{R}^{-1}$，反之同理
  4. 幂运算：
     • R⁰ = $I_A$
     • $R^{m+n}$ = $R^m$ ◦ $R^n$
     • $(R^m{)}^n$ = $R^{mn}$
     • 收敛性
       

4.3. 关系性质

• 五个性质
  

• 性质的保守性

  1. R，S自反，$R^{-1}$、R ∩ S、R ∪ S、R ◦ S也自反
  2. R，S反自反，$R^{-1}$、R ∩ S、R ∪ S、R - S也反自反
  3. R，S对称，$R^{-1}$、R ∩ S、R ∪ S、R - S也对称
  4. R，S反对称，$R^{-1}$、R ∩ S、R - S也反对称
  5. R，S传递，$R^{-1}$、R ∩ S也传递

• 闭包

  1. 定义：为使关系R满足所需要的性质，向R中尽可能少的添加元素，得到关系R’，使R’满足该性质，R’即为闭包。自反闭包记为r®，对称闭包记为s®，传递闭包记为t®。
  2. 用关系运算求闭包：
     • r® = R ∪ $I_A$
     • s® = R ∪ $R^{-1}$
     • t®利用上述收敛性公式求

4.4. 特殊关系

等价关系

• 等价关系：A上自反，对称，传递的关系。

• 等价类：设R为A上的一个等价关系，x∈R，则满足{y | y ∈ A ∧ xRy}的集合称为x的等价类，记为$[x{]}_R$，可简记为[x]。即x的等价类就是所有满足xRy的，y的集合。

• 等价类的性质：

  1. [x]非空
  2. 若xRy，则[x] = [y]；否则[x] ∩ [y] = ∅
  3. ∪{[x] | x ∈ A} = A

• 商集：{$[x{]}_R$ | x ∈ A}，称为A关于R的商集，记作A / R。即A所有等价类的集合。

• 集合的划分：将集合的元素划分，商集就是对A的一个划分，也称由R导出的等价划分。
  一个集合有多种划分，不同等价关系导出不同的划分；且可由划分确定一个等价关系，假设有划分{S₁, S₂, …, $S_n$}，则对应的等价关系为{(S₁ × S₁) ∪ (S₂ × S)₂ ∪ … ∪ ($S_n\times S_n$)}。

偏序关系

• 偏序关系：A上自反，反对称，传递的关系R，记为≼，并将<a, b> ∈ ≼记为a ≼ b，<A, ≼>称为偏序集。该关系一般用于排序，因此是反对称的，典型的关系就是实数集上的小于等于关系。

• 可比：x ≼ y或y ≼ x则称x与y可比。

• 覆盖：当x ≼ y，且不存在z，使得x ≼ z ≼ y，则称y覆盖x。

• 哈斯图：本质就是采用一些规则化简关系图

  1. 取消每个点自环（因为自反性）
  2. 取消由传递性产生的边
  3. 重新排列每条边，使得箭头方向均朝上，然后去掉箭头（因为反对称性）

• 特殊元素：设<A, ≼>是偏序集，B是A的一个子集

  1. 最大元与最小元：∃b ∈ B，对∀x ∈ B，都有x ≼ b（b ≼ x），则称b为最大元（最小元）。
  2. 极大元与极小元：∃b ∈ B，对∀x ∈ B，不存在b ≺ x（x ≺ b），则称b为极大元（极小元）。
  3. 上界与下界：∃a ∈ A，对∀x ∈ B，都有x ≼ a（a ≼ x），则称a为B的上界（下界）。a可以有多个。
  4. 上确界和下确界：上界（下界）的最小元（最大元），它们是唯一的。

• 拟序关系：A上反自反，反对称，传递的关系，用≺表示

• 全序关系：若偏序集<A, ≼>任意的x和y都可比，则称“≼”为全序关系，<A, ≼>为全序集，或线序集（因为哈斯图的元素排成一条线）

4.5. 函数

• 定义：设f是集合A到B的关系，且对∀x ∈ A，都存在惟一的y ∈ B，使得<x, y> ∈ f，则称f是A到B的函数，记为 f: A → B。

• 函数的两个前提：domf中任意元素都有像；domf中同一元素有且仅有一个像。

• 关系与函数的区别：

  区别	种数	基数	第一元素
  关系	$2^{\Vert A\Vert \times \Vert B\Vert }$	0 ~ |A|×|B|	可重复
  函数	$\Vert B{\Vert }^{\Vert A\Vert }$	|A|	不可重复

• 特殊函数：

  1. 特征函数：设A为集合，对∀A’ ⊆ A，A’的特征函数 χ A ′ : A → { 0 , 1 } \chi_{A'}:A\to\{0,1\} χA′​:A→{0,1}定义为
     $${\chi }_{A^{\prime }}(a)=\{\begin{array}{l}1,a\in A^{\prime }\\ 0,a\in A-A^{\prime }\end{array}$$

• 函数类型：

  1. 单射：x与y一一对应；单射 ⇔ 对∀x₁，x₂ ∈ A，若x₁ ≠ x₂，则f(x₁) ≠ f(x₂)。
  2. 满射：ranf = B；满射 ⇔ 对∀y ∈ B，一定∃x ∈ A，使得f(x) = y。
  3. 双射：f单射且满射。

• 函数运算

  1. 复合：设有函数 f: A → B，g: B → C，则 f ◦ g: A → C。
     • f ◦ g(x) 也记为g(f(x))
     • dom(f ◦ g) = domf；ran(f ◦ g) = ranf
     • 复合运算不满足交换律，但满足结合律
     • 复合的保守性：相同类型的函数复合后还是同一类型
  2. 逆：$f^{-1}$: B → A
     • $f^{-1}$存在 ⇔ f是双射函数。（其实就是高数上的严格单调函数必有反函数）
     • $f◦f^{-1}=I_A$；$f^{-1}◦f=I_B$
  3. B上A：从A到B全体函数的集合，记为$B^A$

5. 图（G = <V, E>）

5.1. 概念

• 分类：有向图和无向图，多重图和线图（简单图是无环的线图），赋权图和无权图。
• 各种图
  1. 零图：孤立结点组成的图。
  2. 平凡图：只有一个结点的零图。
  3. 子图：G₁ = <V₁, E₁>，V₁ ⊆ V，E₁ ⊆ E，则G₁为G的子图。
     • 生成子图：V₁ = V，E₁ ⊆ E
     • 导出子图：V₁ ⊆ V，E₁是以V₁中两个点为端点的边集
  4. 完全图：任意两点都有边相连，记为$K_n$（有向情况下为两条相反的边）。
  5. 补图：设简单图G = <V, E>，完全图G’ = <V, E₁>，则补图G₁ = <V, E₁ - E>。即从完全图的边集中删去简单图的边集。
  6. 同构图：若存在双射函数 f: V → V’，且对应边集相同，则称为同构图，记为G ≌ G’。
  7. 正则图：对∀v ∈ V，都有d(v) = k，则称G为 k-正则图。
  8. 竞赛图：为无向完全图的每条边分配方向所形成的图。
  9. 轮图：在n-1阶的圈内放置一个顶点，与各顶点相连，组成的就是n阶轮图，记为$W_n$
• 度：顶点的度记为d(v)，出度为$d^{+}$(v)，入度为$d^{-}$(v)。
  1. 最大度：Δ(G) = max{d(V) | v ∈ V}
  2. 最小度：δ(G) = min{d(V) | v ∈ V}
  3. 最大出度：Δ${}^{+}$(G)；最大入度，最小出/入度同理。
  4. 度数序列：设V = {v₁, v₂, …, $v_n$}，则(d(v₁), d(v₂), …, d($v_n$))为度数序列。
  5. 握手定理：无向图的总度数为 2|E|；有向图总度数为 2|E|，且总入度和总出度相同，为|E|。

5.2. 性质

• 通路与回路：长度为所含边的数量

  1. 简单通路/回路：通路中的所有边互不相同；否则为复杂通路/回路。

  2. 初级通路/回路：通路中的所有边互不相同，结点也互不相同（回路不考虑两个端点）。

  3. 判断两顶点间是否有通路：设G的邻接矩阵为A，则 $A^n$ 的元素 $a_{ij}$ 表示 $v_i$ 到 $v_j$ 长度为 n 的通路数量。主对角线上的即为回路。

  4. 可达性：无向图的可达关系是等价关系，有向图的不具备对称性，所以不是等价关系

     根据上述定理，若是想知道 $v_i$ 到 $v_j$ 的可达性，则可通过可达矩阵 P = A ∨ A² ∨ … ∨ $A^n$（其中A的幂运算是布尔积运算）判断，若 $p_{ij}$ = 1，则从$v_i$ 到 $v_j$ 是可达的。

• 无向图的连通性：

  1. 连通分支：由可达关系的每个等价类导出的子图称为G的一个连通分支，连通分支数记为p(G)。换言之，一个图可能由多个彼此不连通的连通图组成，每个这样的连通图就是一个连通分支。
  2. 点割集与割点：从无向图 G 中尽可能少的删去点，使新图 G’ 的 p(G’) > p(G)，这样的点的集合就称为点割集；如果该集合中只有一个点，则这个点称为割点。
  3. 边割集与割边（桥）：类似于点割集和割点。
  4. 点连通度：κ(G) = min{|V| | V为点割集或 G - V 为平凡图}；若κ(G) ≥ k，则称 G 为 k-连通图。
  5. 边连通度：λ(G) = min{|E| | E为边割集}；若λ(G) ≥ k，则称G为k边-连通图。

• 有向图的连通性：

  1. 弱连通图（连通图）：将有向边转化为无向边，若图为连通图，则称有向图G为弱连通图或连通图。
  2. 单向连通图：若G中任意一对结点之间，至少有一个结点到另一个结点是可达的，则称G为单向连接图。
  3. 强连通图：G中任意一对结点相互可达。
  4. 连通图判定：
     • 强连通图 ⇔ G中存在一条经过所有结点的回路
     • 单向连通图 ⇔ G中存在一条经过所有结点的通路
     • 强连通图 ⇒ 单向连通图 ⇒ 弱连通图
  5. 邻接矩阵判定：
     • 强连通图：邻接矩阵P的所有元素均为1
     • 单向连通图：P ∨ $P^T$ 除主对角元素外都为1
     • 弱连通图：以A ∨ $A^T$为邻接矩阵求得的可达矩阵P’的元素全为1
  6. 连通分支：设G’为G的子图，当G’是最大的弱/单向/强连通子图，则称G’是G的弱/单向/强连通分支。

5.3. 欧拉图

• 定义：图G中不含孤立节点，若存在一条通路/回路，经过G中每条边一次且仅一次，则称该通路/回路为欧拉通路/回路，具有欧拉通路的图被称为半欧拉图，具有欧拉回路的图被称为欧拉图。

• 欧拉图判定：

  1. 无向半欧拉图：无向图G存在欧拉通路 ⇔ G是连通的且恰有2个奇度数结点。
  2. 无向欧拉图：G存在欧拉回路 ⇔ G是连通的且结点均为偶度数结点。
  3. 有向半欧拉图：有向图G存在欧拉通路 ⇔ G是连通的，且恰有两个奇度数结点，一个出度比入度大1（起点），另一个出度比入度小1（终点），其余结点出度入度相同。
  4. 有向欧拉图：G存在欧拉回路 ⇔ G是连通的，且所有结点出度和入度相同。

• 求无向图欧拉回路——Fleury算法：依次选边，每选一条边就从图中删去得到图G’，选取条件：① 与上一条边相连；② 除非别无选择，不然不能选G’的割边。

5.4. 哈密顿图

• 定义：图G存在一条通路/回路，经过G中每个结点一次且仅一次，则称该通路/回路为哈密顿通路/回路，具有哈密顿通路的图被称为半哈密顿图，具有哈密顿回路的图被称为哈密顿图。

• 哈密顿图（无向）判定必要条件：

  1. 哈密顿图必要条件：设无向图G = <V, E>是哈密顿图，则对任意V₁ ⊆ V且V₁非空，均有p(G - V₁) ≤ |V₁|。
  2. 半哈密顿图必要条件：p(G - V₁) ≤ |V₁| + 1。

• 哈密顿图（无向）判定充分条件：

  1. 半哈密顿图：设G为n阶简单无向图，若对G中任意两个不相邻的点u，v，均有d(U) + d(v) ≥ n - 1，则G中存在哈密顿通路。
  2. 哈密顿图：若d(U) + d(v) ≥ n，则存在哈密顿回路。

5.5. 二分图（二部图/偶图）

• 定义：设无向图G = <V, E>，若V能划分为两个子集V₁，V₂，且E中任意一条边，一端属于V₁，另一端属于V₂，则称G为二分图。若V₁中任意一结点与V₂中所有结点相连，则称为完全二部图，记为$K_{|V₁|,|V₂|}$。

• 二分图判定：G是二分图 ⇔ G中所有回路长度都为偶数

5.6. 平面图

• 定义：能够把一个无向图G的所有结点和边画在平面上，且边互不交叉的图。

• 面与次数：

  1. 面：由边围成的，内部不包含边与结点的区域，记为$R_i$。
  2. 边界：构成面的诸边
  3. 次数：边界的长度，记为$deg(R_i)$；次数和 = 边总数的二倍
  4. 有限面与无限面：面积有限的为有限面，无限面同理

• 极大平面图：设G是n阶（n ≥ 3）m边简单连通平面图，若在任意两不相邻的结点间加入边就会破坏G的平面性，则称G是极大平面图。

• 极小非平面图：删除任一条边都会变成平面图的图。与K₅和K₃,₃同胚的都是极小非平面图。

• 欧拉公式：设G是n个顶点，m条边，r个面的连通平面图，则有n - m + r = 2。

• 同胚：如果两个图同构，或在反复插入或消去2度结点后同构，则称这两图同胚。
  

• 边的收缩
  

• 库拉托夫斯基定理：

  1. G是平面图 ⇔ G的任意子图都不与K₅和K₃,₃同胚。
  2. G是平面图 ⇔ G的任意子图都不能收缩为K₅和K₃,₃。

5.7. 对偶图

• 定义：设有平面图G，在G的每个面中指定一个新的结点，对两个面的公共边，指定一条新边与其相交，这些新点和新边就构成了对偶图。

• 设(n, m)且有r面的连通平面图G的对偶图为G*，G*的顶点n*，边m*，面r*分别为：

  1. n* = r
  2. m* = m
  3. r* = n（对非连通图的对偶图，r* = n - k + 1）

5.8. 最短路径算法

• Dijkstra：用于计算一个点到其他点的最短路径，过程如下：
  1. 初始化起始点到各点的距离，不可直接到达的点设为∞，初始点自身为0，其余点都设为未访问。
  2. 选取未访问点中最近的点，将其设为已访问，再根据该点去更新到其他点的最短距离。
  3. 重复第二步，直到访问所有点。
• 旅行商问题（NP难问题）：找到最短的哈密顿回路，目前只能通过枚举哈密顿回路比较大小来求解。

6. 树

6.1. 最小生成树

• Kruskal算法：将边排序，找能连接两个连通分支的最小边
• Prim算法：从点到点，找到最短边。

6.2. 树的遍历

• 前序遍历：对应前缀表达式（波兰符号表达式），从右到左扫描
• 中序遍历：还原算式需要加括号，否则有二义性
• 后序遍历：对应后缀表达式（逆波兰符号表达式），从左到右扫描

6.3. 哈夫曼编码

• 前缀码：不存在能作为其他编码前缀的编码，这样一组编码就是前缀码。

• 最优树：权×路径长度的和最小的树

• Huffman算法：构造哈夫曼树

  1. 令S = {w₁, w₂, …, $w_n$}
  2. 找到S中权重最小的两个结点，将它们作为左右子节点组成一棵树，根节点的权重为它们的和
  3. 将根节点放回到S中，重复2，3操作，直到S为空

7. 代数系统

7.1. 二元运算及其性质

• 二元运算定义：设有集合S，函数 f: S × S → S称为S上的二元运算。二元运算应满足函数的前提，dom f = S × S，且像无二义性。

• 一元运算定义：设有集合S，函数 f: S → S称为S上的一元运算。

• 运算性质：

  1. 交换律：设 ◦ 为S上的二元运算，若对任意x，y ∈ S都有 x ◦ y = y ◦ x，则称运算◦在S上满足交换律。
  2. 结合律：同上，(x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z)
  3. 幂等律：x ◦ x = x
  4. 分配律：x * (y ◦ z) = (x * y) ◦ (x * z)，则称 * 对 ◦ 是可分配的
  5. 吸收率：x * (x ◦ y) = x，x ◦ (x * y) = x
  6. 单位元：左右单位元相同时则统一称为单位元，记为e，且惟一。
     $e_l◦x=x$（左单位元）
     $x◦e_r=x$（右单位元）
  7. 零元：左右零元相同时则统一称为零元，记为θ，且惟一。
     ${\theta }_l◦x={\theta }_l$（左零元）
     $x◦{\theta }_r={\theta }_r$（右零元）
  8. 逆元：左右相同统称逆元，惟一
     $y_l◦x=e$（左逆元）
     $x◦y_r=e$（右逆元）
  9. 消去律：
     x ◦ y = x ◦ z 且 x ≠ θ，则 y = z（左消去）
     y ◦ x = z ◦ x 且 x ≠ θ，则 y = z（右消去）

7.2. 代数系统

• 定义：非空集合S和S上的k个一元或二元关系f₁, f₂, …, $f_k$组成的系统称为代数系统，简称代数，记作<S, f₁, f₂, …, $f_k$>。

• 同类型的代数系统：两个代数系统中运算个数相同（一元二元个数都相同），代数常数个数也相同（如零元，单位元等）

• 子代数系统：设V = <S, f₁, f₂, …, $f_k$>是代数系统，B ⊆ S，若B对V中运算都是封闭的，且与S都含有相同的代数常数，则称<B, f₁, f₂, …, $f_k$>是V的子代数系统，简称子代数，可以将子代数直接记为B。

• 积代数：设V₁ = <A, ◦>和V₂ = <B, *>是同类型的代数系统，◦与*为二元运算，则在集合A × B上定义二元运算 · ，∀<a₁, b₁>，<a₂, b₂> ∈ A × B，有：
  <a₁, b₁> · <a₂, b₂> = <a₁ ◦ a₂, b₁ * b₂>
  称V = <A × B, ·>为V₁与V₂的积代数，记作V₁ × V₂；V₁，V₂也被称为V的因子代数。

7.3. 同态与同构

• 同态：设V₁ = <A, ◦>和V₂ = <B, *>是同类型的代数系统，若有f: A → B，且∀x，y ∈ A，有：
  f(x ◦ y) = f(x) * f(y)
  则称f是V₁到V₂的同态映射，简称同态。

• 同构：同态根据f的类型分为单同态，满同态和同构。若f: V → V同态，则分为单自同态，满自同态和自同构。

8. 群

8.1. 性质与定义

• 半群：设V = <S, ◦>是代数系统，◦为二元运算，如果◦可结合，则称V为半群。

• 独异点：设V为半群，若e ∈ S是关于◦的单位元，则称V为独异点。

• 群：设V是独异点，若对∀a ∈ S都有$a^{-1}$ ∈ S，则称V是群，通常记作G。若

• 群的实例：<Z, +>，<R, +>，<Q, +>，复数加群<C, +>，模n整数加群<$Z_n$, ⊕>（$Z_n$ = {0, 1, …, n - 1}）

• 元素幂运算：设G是群，a ∈ G，则a的n次幂：

  1. n = 0，e
  2. n > 0，$a^{n-1}$ a
  3. n < 0，$(a^{-1}{)}^{-n}$

• 群的幂运算：

  1. $(a^{-1}{)}^{-1}$ = a
  2. $(ab{)}^{-1}$ = $b^{-1}{a}^{-1}$
  3. G为交换群时，$(ab{)}^n$ = $a^n{b}^n$
  4. $a^m{a}^n=a^{m+n};(a^m{)}^n=a^{mn}$

• 群的性质：

  1. 群满足消去律
  2. 设a ∈ G，且|a| = r，则有$a^k$ = e当且仅当 r|k（r整除k）；亦有|$a^{-1}$| = |a|

9. 组合计数

9.1. 基本计数原则

• 加法原则：设事件A有m种产生方式，事件B有n种产生方式，若A和B的产生方式没有重叠，则A或B的产生方式有 m + n 种。
• 乘法原则：设事件A有m种产生方式，事件B有n种产生方式，若A与B的产生方式相互独立，则A与B的产生方式有 mn 种。
• 鸽巢原理：将k + 1个物体放入k个盒子中，则至少有一个盒子有2个或以上的物体。
• 广义鸽巢原理：将N个物体放入k个盒子中，则至少有一个盒子有⌈N / k⌉（向上取整）个物体。
• 重要思想：一一对应，数学归纳法
  例：从1到24中选取5个互不相邻的数字，一共有多少种选法？
  证：设从中选的五个数为{$i_1,i_2,...,i_5$}，其中$i_1<i_2<...<i_5$，且$i_j\ne i_{j+1}$，j = 1, 2, 3, 4。令$k_j=i_j-j+1,j=1,2,3,4,5$，显然$i_j与k_j$是一一对应的，$k_j$恰好为{1, 2, …, 20}中取5个数的组合，故该题答案为C(20, 5)

9.2. 排列组合

• n元集排列：P(n, r) = $\frac{n!}{(n-r)!}$
• n元集组合：C(n, r) = $\frac{n!}{(n-r)!r!}$
  1. C(n, r) = $\frac{n}{r}$ C(n - 1, r - 1)
  2. C(n, r) = C(n - 1, r - 1) + C(n - 1, r)（杨辉三角/Pascal公式）
• 多重集全排列（r = n）：多重集即为元素重复出现的集合
  
• 多重集组合：
  

9.3. 二项式定理与组合恒等式

• 二项式定理
  
• 多项式定理
  
• 组合恒等式
  1. $C(n,k)=C(n,n-k)$
  2. $C(n,k)=\frac{n}{k}C(n-1,k-1)$
  3. $C(n,k)=C(n-1,k-1)+C(n-1,k)$
  4. ${\sum }_{k=0}^{n}C(n,k)=2^n$
  5. ${\sum }_{k=0}^n(-1{)}^{k}C(n,k)=0$
  6. ${\sum }_{l=0}^{n}C(l,k)=C(n+1,k+1)$
     • 证：等式右边为从n+1个元素中取k+1个元素的子集；可以将该k+1元子集分为如下n+1类：
       第1类：子集中含第一个元素，剩下k个在之后的元素中取
       第2类：子集中含第二个元素，不含之前的元素，剩下的k个在之后元素中取
       …
       第n+1类：子集中含第n + 1个元素，不含之前的元素，剩下的k个在空集中取
       以上n+1类的和即为等式的左边。
  7. ∑ k = 0 r C ( m , k ) C ( n , r − k ) = C ( m + n , r ) r ≤ m i n { n , m } \sum_{k = 0}^{r} C(m, k) C(n, r - k) = C(m + n, r)\qquad r \le min\{n, m\} ∑k=0r​C(m,k)C(n,r−k)=C(m+n,r)r≤min{n,m}
  8. ${\sum }_{k=0}^{n}C(m,k)C(n,k)=C(m+n,m)$

9.4. 组合计数模型

• 集合有序选取：集合排列
• 集合无序选取：集合组合
• 多重集有序选取：多重集的排列
• 多重集无序选取：多重集的组合
• 不定方程：$x_1+x_2+...+x_k=r$
  1. $x_i$为非负整数时，解的个数为C(r + k - 1, r)
  2. $x_i$为正整数时，解的个数为C(r - 1, k - 1)
• 非降路径：从(a, b)出发到(m, n)的一条折线，由m - a + n - b次移动组成，每次只能向右或向上。
  
  从(a, b)到(m, n)，有C(m + n - a - b, m - a)条路径

9.5. 递推方程

• 常系数线性递推方程（类似于高数中的常微分方程）
  

  1. 齐次：由特征方程$x^{k+1}+a_1{x}^k+...+a_k=0$求出特征根$q_1,q_2,...,q_k$。
     • 特征根都为单根时：通解$H(n)=c_1{q}_1^n+c_2{q}_2^n+...+c_k{q}_k^n$，将给定初值带入到通解中，求出$c_1,c_2,...,c_k$。
     • 特征根为重根时：若$q_i$为$e_i$重根，则有通解$H(n)={\sum }_{i=0}^k(c_{i1}+c_{i2}n+...+c_{i{e}_i}{n}^{e_i-1})q_i^n$，同样带入初值求待定系数。
  2. 非齐次：先求出齐次情况下的通解$\overline{H(n)}$，再根据非齐次情况的求解方法求出特解H*(n)，非齐次递推方程的通解$H(n)=\overline{H(n)}+H^{\ast }(n)$。
     • f(n)为n的t次多项式时：$H^{\ast }(n)=P_1{n}^t+P_2{n}^{t-1}+...+P_{t+1}$。
     • f(n)为$A{\beta }^n$形式：若β不是特征根，则$H^{\ast }(n)=P{\beta }^n$；若β是e重特征根，则为$P{n}^e{\beta }^n$。
     • 将特解带回到递推方程，求出各待定系数。
     • 最后将初值代入H(n)中，求得$\overline{H(n)}$中各待定系数的值。

• 其他形式递推方程：

  1. 换元法：通过换元转变回常系数线性递推方程。

     • 例：
       $$\{\begin{array}{l}W(n)=2W(n/2)+n-1,n=2^k\\ W(1)=0\end{array}$$
       将$n=2^k$代入，有$W(2^k)=2W(2^{k-1})+2^k-1$，令$H(k)=W(2^k)$，则有$H(k)=2H(k-1)+2^k-1$，用公式法求解即可。

  2. 迭代归纳法：根据递推式不断将式子展开，展开到初值项为止，然后对式子进行化简，最后将结果代入到原递推方程验证。

     • 例：与上面同一例子
       $$\begin{array}{rl}& W(n)=2W(2^{k-1})+2^k-1\\ & =2[2W(2^{k-2})+2^{k-1}-1]+2^k-1\\ & =2^{2}W(2^{k-2})+2^k-2+2^k-1\\ & =2^2[2W(2^{k-3})+2^{k-2}-1]+2^k-2+2^k-1\\ & =2^{3}W(2^{k-3})+2^k-2^2+2^k-2+2^k-1\\ & =\dots \\ & =2^{k}W(1)+k\cdot 2^k-(2^{k-1}+2^{k-2}+\cdots +2+1)\\ & =k\cdot 2^k-2^k+1\\ & =n\log n-n+1\end{array}$$
       迭代归纳法只适用于一阶递推公式，对于非一阶递推公式，可以先用差消法转换成一阶递推公式，如：
       $$\{\begin{array}{l}{D}_n=(n-1)(D_{n-1}+D_{n-2})\\ D_1=0,D_2=1\end{array}$$
       该式为二阶递推式，通过差消法，有：
       $$\begin{array}{rl}& D_n-n{D}_{n-1}=-[D_{n-1}-(n-1)D_{n-2}]=\dots \\ & =(-1{)}^{n-2}[D_2-2D_1]=(-1{)}^{n-2}\end{array}$$
       从而得到一阶递推式：$D_n=n{D}_{n-1}+(-1{)}^{n-2}$

9.6. 生成函数

• $a_n$的生成函数：$G(x)={\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$
• $a_n$的指数生成函数：$G_e(x)={\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n\frac{x^n}{n!}$

10. 补充知识点

1. 特征函数
2. 轮图
3. 证明关系反对称：∀<x, y>，若当<x, y> ∈ R ∧ <y, x> ∈ R时，都有x = y，则R反对称。
4. 设a，b不全为0，则存在整数x和y使得gcd(a, b) = ax + by。用辗转相除法倒推来求：
   • 例：证294与65互素，并求出x，y使得294x + 65y = 1。
     证：$294 = 4 \times 65 + 34 \
     65 = 1 \times 34 + 31 \
     34 = 1 \times 31 + 3 \
     31 = 10 \times 3 + 1 \
     3 = 3 \times 1
     $
     故gcd(294, 65) = 1，互素。又有：
     1 = 31 − 10 × 3 = 31 − 10 × ( 34 − 31 ) = 11 × 31 − 10 × 34 = 11 × ( 65 − 34 ) − 10 × 34 = 11 × 65 − 21 × 34 = 11 × 65 − 21 × ( 294 − 4 × 65 ) = 95 × 65 − 21 × 294 \begin{aligned} &1 = 31 - 10 \times 3 \\ &= 31 - 10 \times (34 - 31) \\ &= 11 \times 31 - 10 \times 34 \\ &= 11 \times (65 - 34) - 10 \times 34 \\ &= 11 \times 65 - 21 \times 34 \\ &= 11 \times 65 - 21 \times (294 - 4 \times 65) \\ &= 95 \times 65 - 21 \times 294 \end{aligned} ​1=31−10×3=31−10×(34−31)=11×31−10×34=11×(65−34)−10×34=11×65−21×34=11×65−21×(294−4×65)=95×65−21×294​
5. 基本回路与基本割集：生成树中的定义
   • 基本回路：设有无向连通图G，T是G的生成树，则T中的树枝加上一条弦构成的回路就叫基本回路。
   • 基本割集：T中一条树枝对应一个基本割集，其中包含了该树枝，以及其所在基本回路的所有弦。