离散数学 学习笔记：

3.16

1、例：设命题：
P：你陪伴我。
Q：你代我叫车子。
R：我将出去。
例：除非你陪伴我或代我叫车子，否则我将不出去。
符号化为：R --> (P ∨ Q )或者 (┐P ∧ ┐Q ) --> ┐R

2、蕴涵式
G–>H = ┐G ∨ H

3、等价式
G <–> H = (G–>H) ∧ (H–>G) = ( ┐G ∨ H) ∧ (┐H ∨ G)

4、归谬论
(G–>H) ∧ (G–>┐H) = ┐G
(G能推出H，G也能推出┐H，这明显不成立，所以G不成立)

5、例题：
((P ∧ Q ∧ R) ∨ (P ∨ Q ∨ S )) ∧ (P ∧ S ∧ T )

=(P ∨ Q ∨ S )) ∧ (P ∧ S ∧ T )
（(P ∧ Q ∧ R) ∨P=P， 同理得(P ∧ Q ∧ R) ∨ (P ∨ Q ∨ S ) = (P ∨ Q ∨ S )）
=P ∧ S ∧ T
（(P ∨ Q ∨ S )) ∧ P = P，同理得(P ∨ Q ∨ S )) ∧ (P ∧ S ∧ T )= P ∧ S ∧ T）

3.17
1、析取范式可以指出公式何时为真，合取范式指出公式何时为假。

2、P ∨ ( P ∧ R ) ∨ (Q ∧ R ) = P ∨(Q ∧ R )
吸收率

3、
若有两个命题变元 P ，Q：
极大项，记为Mi：
P ∨ Q；P ∨ ┐Q；┐P ∨ Q；┐P ∨ ┐Q
每个极大项只有一组成假赋值，因此可用于给极大项编码
命题变元与0对应，命题变元的否定与1对应

极小项，记为mi：
P ∧ Q；P ∧ ┐Q；┐P ∧ Q；┐P ∧ ┐Q
每个极小项只有一组成真赋值，因此可用于给极小项编码
命题变元与1对应，命题变元的否定与0对应

1)mi ∧ mi =0; Mi ∨ Mi=1
2)mi = ┐Mi; Mi = ┐mi

3.21
例：所有的老虎都要吃人。
T(x) ：x是老虎；P(x)：x要吃人。
(∀x) (T(x)——>P(x))

有一些人登上过月球。
H(x)：x是人；R(x)：x登上过月球。
(∃x)( H(x)∧ R(x))

3.22
每个实数都存在比它的另外的实数。
假定个体域为所有实数，L(x,y)：x小于y
则命题符号化为(∀x)(∃y)L(x,y)
注：这里的(∀x)(∃y)不能调换顺序，否则意义会变。

函数符号：表示个体域
谓词符号：表示“命题”有真假，取值范围0或1

例：
周红的父亲是教授。
令f(x)：x的父亲；P(x)：x是教授；c：周红
则该命题符号化为P( f( c ))

项：任意的常量符号或任意的变量符号
闭式：设G是任意一个公式，若G中无自由出现的个体变元，则称G为闭式。
闭式是命题

3.23
1、量词分配律：
(∀x)(G(x) ∧ H(x)) = (∀x)G(x) ∧ (∀x)H(x)
(∃x)(G(x) ∨ H(x)) =(∃x)G(x) ∨ (∃x)H(x)

2、 (∀x)G(x) ∨ (∀x)H(x) = (∀x) (∀y)(G(x) ∨H(y))
(∃x)G(x) ∧ (∃x)H(x) = (∃x)(∃y)(G(x) ∧ H(y))

例：证明┐(∃x)(G(x) ∧ H(x)) = (∀x)(G(x) --> ┐H(x))
=(∀x)┐(G(x) ∧ H(x))
=(∀x)(┐G(x) ∨ ┐H(x))
= (∀x)(G(x) --> ┐H(x)) （G–>H = ┐G ∨ H）

例：证明(∀x)(P(x) --> Q(x))，(∃x)P(x) =>(∃x)Q(x)
证明：
1）(∃x)P(x)
2）P(a)
3）(∀x)(P(x) --> Q(x))
4）P(a) --> Q(a)
5）Q(a)
6）(∃x)Q(x)