图的矩阵表示
文章目录
无向图关联矩阵
在矩阵
M
(
G
)
=
[
m
i
j
]
n
∗
m
M(G)=[m_{ij}]_{n*m}
M(G)=[mij]n∗m中有
$$
m_{ij}=
\begin{cases}
1 &\ 若v_i关联e_j \
0 &\ 若v_i不关联e_j
\end{cases}
$$
称
M
(
G
)
M(G)
M(G)为关联矩阵
无向关联矩阵的性质
每列和：2
每行和： d ( v ) d(v) d(v)
无向图的基本关联矩阵
从 M ( G ) M(G) M(G)中删除参考点对应的行
得到的矩阵
无向图关联矩阵的秩
定理10.1：如果无向连通图G有n个顶点，则 r ( M ( G ) ) = n − 1 r(M(G))=n-1 r(M(G))=n−1
定理10.2：G连通 ⇒ r ( M f ( G ) ) = n − 1 \rArr r(M_f(G))=n-1 ⇒r(Mf(G))=n−1
推论1：G有p个连通分支 ⇒ r ( M ( G ) ) = r ( M f ( G ) ) = n − p \rArr r(M(G))=r(M_f(G))=n-p ⇒r(M(G))=r(Mf(G))=n−p
推论2：G连通 ⇔ \Harr ⇔$ r(M(G))=r(M_f(G))=n-1$
基本关联矩阵与生成树
定理10.3：G连通， M f ′ M'_f Mf′是 M f ( G ) M_f(G) Mf(G)中任意n-1列组成的方阵，T是对应的导出子图
则有 $ T是 G的生成树\Harr M’_f的行列式|M’_f|\ne0$
无向图的相邻矩阵
相邻矩阵：
A
(
G
)
=
[
a
i
j
]
n
∗
m
A(G)=[a_{ij}]_{n*m}
A(G)=[aij]n∗m
a
i
j
=
{
1
,
v
i
与
v
j
相
邻
0
,
v
i
与
v
j
不
相
邻
a_{ij}= \begin{cases} 1,& v_i与v_j相邻\\ 0,&v_i与v_j不相邻 \end{cases}
aij={1,0,vi与vj相邻vi与vj不相邻
无向图相邻矩阵的性质
A(G)对称： a i j = a j i a_{ij}=a_{ji} aij=aji
每行(列)和为顶点度： d ( v j ) d(v_j) d(vj)
握手定理：行列度数加和为2m
相邻矩阵与通路数
设 A r = [ a i j ( r ) ] n ∗ n A^r=[a^{(r)}_{ij}]_{n*n} Ar=[aij(r)]n∗n
B r = A + A 2 + . . . + A r = [ b i j ( r ) ] n ∗ n B_r=A+A^2+...+A^r=[b^{(r)}_{ij}]_{n*n} Br=A+A2+...+Ar=[bij(r)]n∗n
定理10.5：在简单图中
a i j ( r ) = 从 v i 到 v j 长 度 为 r 的 通 路 数 a^{(r)}_{ij}=从v_i到v_j长度为r的通路数 aij(r)=从vi到vj长度为r的通路数
∑ i = 1 n a i i ( r ) = 长 度 为 r 的 回 路 总 数 \displaystyle\sum_{i=1}^na^{(r)}_{ii}=长度为r的回路总数 i=1∑naii(r)=长度为r的回路总数
