剑指 Offer 53 - I. 在排序数组中查找数字 I 【 c++/java详细题解 】

目录

• ​​1、题目​​
• ​​2、思路​​
• ​​3、c++代码​​
• ​​4、java代码​​

1、题目

统计一个数字在排序数组中出现的次数。

示例 1:

输入: nums = [5,7,7,8,8,10], target = 8
输出: 2

示例 2:

输入: nums = [5,7,7,8,8,10], target = 6
输出: 0

提示：

• ​​0 <= nums.length <= 10^5​​
• ​​-10^9 <= nums[i] <= 10^9​​
• ​​nums​​ 是一个非递减数组
• ​​-10^9 <= target <= 10^9​​

2、思路

(二分)

统计一个数字在排序数组中出现的次数。

样例：

如样例所示，​​nums = [5,7,7,8,8,10]​​​，​​target = 8​​​，​​8​​​在数组中出现的次数为​​2​​​，于是最后返回​​2​​。

数组有序，因此可以使用二分来做。两次二分，第一次二分查找第一个​​>= target​​​的位置​​begin​​​；第二次二分查找最后一个​​<= target​​​的位置​​end​​​，查找成功则返回​​end - begin + 1​​​，即为数字在排序数组中出现的次数，否则返回​​0​​，表示该数没有在数组中出现。

二分模板：

模板1

当我们将区间​​[l, r]​​​划分成​​[l, mid]​​​和​​[mid + 1, r]​​​时，其更新操作是​​r = mid​​​或者​​l = mid + 1​​​，计算​​mid​​​时不需要加​​1​​​，即​​mid = (l + r)/2​​。

C++/java代码模板：

int bsearch_1(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = (l + r)/2;
        if (check(mid)) r = mid;
        else l = mid + 1;
    }
    return l;
}

模板2

当我们将区间​​[l, r]​​​划分成​​[l, mid - 1]​​​和​​[mid, r]​​​时，其更新操作是​​r = mid - 1​​​或者​​l = mid​​​，此时为了防止死循环，计算​​mid​​​时需要加​​1​​​，即​​mid = ( l + r + 1 ) /2​​。

C++/java 代码模板：

int bsearch_2(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = ( l + r + 1 ) /2;
        if (check(mid)) l = mid;
        else r = mid - 1;
    }
    return l;
}

为什么两个二分模板的​​mid​​取值不同？

对于第二个模板，当我们更新区间时，如果左边界​​l​​​更新为​​l = mid​​​，此时​​mid​​​的取值就应为​​mid = (l + r + 1)/ 2​​​。因为当右边界​​r = l + 1​​​时，此时​​mid = (l + l + 1)/2​​​，相当于下取整，​​mid​​​为​​l​​​，左边界再次更新为​​l = mid = l​​​，相当于没有变化。​​while​​​循环就会陷入死循环。因此，我们总结出来一个小技巧，当左边界要更新为​​l = mid​​​时，我们就令 ​​mid =(l + r + 1)/2​​​，相当于上取整，此时就不会因为​​r​​​取特殊值​​r = l + 1​​而陷入死循环了。

而对于第一个模板，如果左边界​​l​​​更新为​​l = mid + 1​​​，是不会出现这样的困扰的。因此，大家可以熟记这两个二分模板，基本上可以解决​​99%​​以上的二分问题，再也不会被二分的边界取值所困扰了。

什么时候用模板​​1​​？什么时候用模板​​2​​？

假设初始时我们的二分区间为​​[l,r]​​​，每次二分缩小区间时，如果左边界​​l​​​要更新为 ​​l = mid​​​，此时我们就要使用模板2，让 ​​mid = (l + r + 1)/ 2​​​，否则​​while​​​会陷入死循环。如果左边界​​l​​​更新为​​l = mid + 1​​​,此时我们就使用模板1，让​​mid = (l + r)/2​​​。因此，模板1和模板2本质上是根据代码来区分的，而不是应用场景。如果写完之后发现是​​l = mid​​​，那么在计算​​mid​​​时需要加上​​1​​​，否则如果写完之后发现是​​l = mid + 1​​​，那么在计算​​mid​​​时不能加​​1​​。

为什么模板要取​​while( l < r)​​，而不是​​while( l <= r)​​？

本质上取​​l < r​​​ 和 ​​l <= r​​​是没有任何区别的，只是习惯问题，如果取​​l <= r​​，只需要修改对应的更新区间即可。

​​while​​循环结束条件是​​l >= r​​，但为什么二分结束时我们优先取​​r​​而不是​​l​​?

二分的​​while​​​循环的结束条件是​​l >= r​​​，所以在循环结束时​​l​​​有可能会大于​​r​​​，此时就可能导致越界，二分问题我们优先取​​r​​。

二分查找的实现细节：

• 1、二分查找时，首先要确定我们要查找的边界值，保证每次二分缩小区间时，边界值始终包含在内。
• 2、注意看下面的每张图，最后的答案就是红色箭头指出的位置，也是我们二分的边界值。如果不清楚每次二分时，区间是如何更新的，可以画出和下面类似的图，每次更新区间时，要保证边值始终包含在内，这样关于左右边界的更新就会一目了然。

第一次查找target起始位置:

• 1、二分的范围，​​l = 0​​， ​​r = nums.size() - 1​​，我们去二分查找​​>= target​​的最左边界​​begin​​。
• 2、当​​nums[mid] >= target​​时，往左半区域找，​​r = mid​​。
• 3、当​​nums[mid] < target​​时， 往右半区域找，​​l = mid + 1​​。

• 4、如果​​nums[r] != target​​​，说明数组中不存在目标值​​target​​​，返回​​0​​​。否则我们就找到了第一个​​>=target​​​的位置​​begin​​。

第二次查找target结束位置：

• 1、二分的范围，​​l = 0​​， ​​r = nums.size() - 1​​，我们去二分查找​​<= target​​的最右边界​​end​​。
• 2、当​​nums[mid] <= target​​时，往右半区域找，​​l = mid​​。
• 3、当​​nums[mid] > target​​时， 往左半区域找，​​r = mid - 1​​。

• 4、找到了最后一个​​<= target​​​的位置​​begin​​​，返回​​end - begin + 1​​即可。

时间复杂度分析： 两次二分查找的时间复杂度为 。

空间复杂度分析： 没有使用额外的数组，因此空间复杂度为。

3、c++代码

class Solution {
public:
    int search(vector<int>& nums, int target) {
        if(!nums.size()) return  0;
        int l = 0, r = nums.size() - 1;
        while(l < r)       //查找target的开始位置
        {
            int mid = (l + r) / 2;
            if(nums[mid] >= target) r = mid;
            else l = mid + 1;
        }
        if(nums[r] != target) return 0 ;  //查找失败
        int begin = r;     //记录开始位置
        l = 0, r = nums.size() - 1;
        while(l < r)       //查找tatget的结束位置
        {
            int mid = (l + r + 1) / 2;
            if(nums[mid] <= target) l = mid;
            else r = mid - 1;
        }
        int end = r;       //记录结束位置      
        return end - begin + 1;
    } 
};

4、java代码

class Solution {
    public int search(int[] nums, int target) {
        if(nums.length == 0) return  0;
        int l = 0, r = nums.length - 1;
        while(l < r)       //查找target的开始位置
        {
            int mid = (l + r) / 2;
            if(nums[mid] >= target) r = mid;
            else l = mid + 1;
        }
        if(nums[r] != target) return 0 ;  //查找失败
        int begin = r;     //记录开始位置
        l = 0; r = nums.length - 1;
        while(l < r)       //查找tatget的结束位置
        {
            int mid = (l + r + 1) / 2;
            if(nums[mid] <= target) l = mid;
            else r = mid - 1;
        }
        int end = r;       //记录结束位置      
        return end - begin + 1;  
    }
}

原题链接： ​​剑指 Offer 53 - I. 在排序数组中查找数字 I​​​