洛谷P1754 球迷购票问题【DP】

Date：2022.01.13
题意：盛况空前的足球赛即将举行。球赛门票售票处排起了球迷购票长龙。
按售票处规定，每位购票者限购一张门票，且每张票售价为50元。在排成长龙的球迷中有N个人手持面值50元的钱币，另有N个人手持面值100元的钱币。假设售票处在开始售票时没有零钱。试问这2N个球迷有多少种排队方式可使售票处不致出现找不出钱的尴尬局面。

思路：
$f[i][j]$：前$i$个人中有$j$个人给的50情况下能找零的方案数。
状态转移：
①第$i$个人给的是50：$f[i][j]+=f[i-1][j-1]【i>=1\wedge j>=1】$，即多了一张50。
②第$i$个人给的是100：$f[i][j]+=f[i-1][j+1]【i>=1\wedge j>=1\wedge j+1<=i-1】$，即给了100找50，自己少了张50。
此外注意初始状态$f[0][0]=1$，因为一个人都没有也是一种方案。而且因为只有$2\times n$个人，因此终止状态一定是50都找完了，因此对应$2\times n$处没有零钱的状态，即$f[2\times n][0]$。
代码如下：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 55;
typedef long long LL;
LL a[N],f[N][N];
int main()
{
    LL n,ans=0;cin>>n;
    f[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=2*n;i++)
        for(int j=0;j<=i;j++)
        {
            if(j-1>=0) f[i][j]+=f[i-1][j-1];
            if(j+1<=i-1) f[i][j]+=f[i-1][j+1];
        }
    cout<<f[2*n][0];
    return 0;
}