【证明】对称矩阵的特征值为实数

性质 1　对称矩阵的特征值为实数。

证明　设复数矩阵 ， 为 的共轭复数，记 ，即 是由

设复数 为对称矩阵 的特征值，复向量 为对应的特征向量，即 ，。

用 表示 的共轭复数，而 为实矩阵，有 ，故

于是有

及根据 式有

将 式减 式，得

因为 ，所以

故 ，即 ，这就说明