向量组及其线性组合

一、向量

定义：$n$个有次序的数$a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}$所组成的数组称为$n$维向量，这$n$个数称为该向量的$n$个分量，第$i$个数$a_{i}$称为第$i$个分量

向量可以使行向量，也可以是列向量

二、线性表示

1. 线性组合的定义

给定向量组$A:a_{1},a_{2},\cdots,a_{m}$，对于任何一组实数$k_{1},k_{2},\cdots,k_{m}$，表达式$k_{1}a_{1}+k_{2}a_{2}+\cdots+k_{m}a_{m}$称为向量组$A$的一个线性组合，$k_{1},k_{2},\cdots,k_{n}$称为这个线性组合的系数

2. 线性表示的定义

给定向量组$A:a_{1},a_{2},\cdots,a_{m}$和向量$b$，如果存在一组数$\lambda_{1},\lambda_2,\cdots,\lambda_{m}$，使$b=\lambda_1a_{1}+\lambda_{2}a_{2}+\cdots+\lambda_ma_m$，则向量$b$是向量组$A$的线性组合，这时称向量$b$能由向量组$A$线性表示

3. 线性表示的充要条件

向量$b$能由向量组$A:a_{1},a_{2},\cdots,a_{m}$线性表示的充要条件是矩阵$A=(a_{1},a_{2},\cdots,a_{m})$的秩等于矩阵$B=(a_1,a_2,\cdots,a_m,b)$的秩

$\begin{pmatrix}a_1 & \cdots & a_m\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\lambda_1\\vdots\\lambda_m\end{pmatrix}=b=\lambda_1a_1+\cdots+\lambda_{m}a_{m}$

即$Ax=b$有解$\Leftrightarrow r(A)=r(A|b)=m$

三、向量组等价

1. 向量组等价定义

设有两个向量组$A:a_{1},a_2,\cdots,a_m$及$B:b_{1},b_{2},\cdots,b_{l}$，若$B$组中的每个向量都能由向量组$A$线性表示，则称向量组$B$能由向量组$A$线性表示。若向量组$A$与向量组$B$能相互线性表示，则称两个向量组等价

2. 向量组线性表示的充要条件

向量组$B:b_{1},b_{2},\cdots,b_{l}$能由向量组$A:a_{1},a_2,\cdots,a_m$线性表示的充分必要条件是矩阵$A=(a_{1},a_{2},\cdots,a_{m})$的秩等于矩阵$(A,B)=(a_{1},\cdots,a_{m},b_{1},\cdots,b_{l})$的秩，即$R(A)=R(A,B)$

简单说明：$r(A)=r(A,b_{i})$

3. 向量组等价的充要条件

向量组$A:a_{1},a_{2},\cdots,a_{m}$与向量组$B:b_{1},b_{2},\cdots,b_{l}$等价的充要条件是$R(A)=R(B)=R(A,B)$，其中$A$和$B$是向量组$A$和$B$所构成的矩阵

化简后类似于$(A|B)=\left(\begin{array}{ccc|ccc}1&&&1&&\0&1&&0&1&\0&0&1&0&0&1\end{array}\right)$。只关注$R$，数字随便写的

4. 向量组线性表示的必要条件

设向量组$B:b_{1},b_2,\cdots,b_l$能由向量组$A:a_1,a_2,\cdots,a_m$线性表示，则$R(b_1,b_2,\cdots,b_{l})\leq R(a_1,a_2,\cdots,a_m)$

化简后类似于$(A|B)=\left(\begin{array}{ccc|ccc}1&&&1&&\0&1&&0&1&\0&0&1&0&0&0\end{array}\right)$。只关注$R$，数字随便写的

例1：设$a_{1}=\begin{pmatrix}1 \ 1 \ 2 \ 2\end{pmatrix},a_{2}=\begin{pmatrix}1 \ 2 \ 1 \ 3\end{pmatrix},a_{3}=\begin{pmatrix}1 \ -1 \ 4 \ 0\end{pmatrix},b=\begin{pmatrix}1 \ 0 \ 3 \ 1\end{pmatrix}$，证明向量$b$能由向量组$a_1,a_2,a_3$线性表示，并求出表示式

$\begin{pmatrix}a_1 & a_2 & a_3 & b\end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1  \ 0 & 1 & -2 & -1 \ 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$

（问能不能用线性表示只需要化简到这里就行了，不需要化成行最简形式）

$\because r \begin{pmatrix}a_1 & a_2 & a_3\end{pmatrix}=r\begin{pmatrix}a_1 & a_2 & a_3 & b\end{pmatrix}=2$

$\therefore b$可由$a_1,a_2,a_3$表示

$\begin{pmatrix}a_1 & a_2 & a_3 & b\end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix}1 & 0 & 3 & 2 \ 0 & 1 & -2 & -1 \ 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$

$n-r=3-2=1$

$\therefore \xi=\begin{pmatrix}-3 \ 2 \ 1\end{pmatrix},\eta=\begin{pmatrix}-2 \ 1 \ 0\end{pmatrix}$

$\therefore \eta+k \xi=\begin{pmatrix}2-3k \ -1+2k \ k\end{pmatrix}$

故$b=(2-3k)a_{1}+(-1+2k)a_{2}+ka_{3}\quad(k$为任意常数$)$

向量组的线性相关性## 一、线性相关与线性无关

1. 线性相关与线性无关定义

给定向量组$A:a_1,a_2,\cdots,a_m$，如果存在不全为零的数$k_1,k_2,\cdots,k_m$，使$k_1a_1+k_2a_2+\cdots+k_ma_m=0$，则称向量组$A$是线性无关的，否则称它线性无关

2. 线性相关的充要条件

向量组$a_1,a_2,\cdots,a_m$线性相关的充要条件是它所构成的矩阵$A=(a_1,a_2,\cdots,a_m)$的秩小于向量个数$m$。即，$r(a_{1}\cdots a_m)<m$，其中$m$是向量个数

$Ax=\begin{pmatrix}a_{1}\cdots a_{m}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1} \ \vdots \ x_{n}\end{pmatrix}=O$

3. 线性无关的充要条件

向量组线性无关的充要条件是$R(A)=m$

4. 线性相关与线性无关的结论

• 若向量组：$A:a_{1},a_{2},\cdots,a_{m}$线性相关，则向量组$B:a_{1},a_{2},\cdots,a_{m},a_{m+1}$也线性相关。反言之，若向量组$B$线性无关，则向量组$A$也线性无关。即部分相关，则整体相关。

      $k_{1}a_{1}+\cdots+k_{m}a_{m}+k_{m+1}a_{m+1}=0$，令$k_{m+1}=0$，由于$A$线性相关，则$B$线性相关

• $m$个$n$维向量组成的向量组，当维数$n$小于向量个数$m$时一定线性相关。特别的，$n+1$个$n$维向量一定线性相关

      $A=[\quad]_{n\times m}\leq\min{m,n}=n<m$

• 设向量组$A:a_{1},a_{2},\cdots,a_{m}$线性相关，而向量组$B:a_{1},a_{2},\cdots,a_{m},b$线性相关，则向量$b$必能由向量组$A$线性表示，且表示式是唯一的

      $Ax=b$

      $r \begin{pmatrix}a_{1} & \cdots & a_{m}\end{pmatrix}=m=r \begin{pmatrix}a_{1} & \cdots & a_{m} & b\end{pmatrix}$

      $Ax=\begin{pmatrix}a_{1} & \cdots & a_{m}\end{pmatrix}x=b \Rightarrow x_{1}a_{1}+x_{2}a_{2}+\cdots+x_{m}a_{m}=b$

例1：已知向量组$a_{1},a_{2},a_{3}$线性无关，$b_{1}=a_{1}+a_{2},b_{2}=a_{2}+a_{3},b_{3}=a_{3}+a_{1}$，试证向量组$b_{1},b_{2},b_{3}$线性无关

$\begin{pmatrix}b_1 & b_2 & b_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_1 & a_2 & a_3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \ 1 & 1 & 0 \ 0 & 1 & 1\end{pmatrix} \Rightarrow B=AC$

$\because |C|=2\ne0$

$\therefore C$可逆

$\therefore r(B)=r(AC)\leq\min{r(A),r(C)}=3$

$\because BC^{-1}=A$

又$\because3=r(A)=r(BC^{-1})\leq\min{r(B),r(C^{-1})}\leq r(B)$

$\therefore r(B)\geq3$

又$\because r(B)\leq3$

$\therefore r(B)=3$

故$b_{1},b_{2},b_{3}$线性无关

向量组的秩

一、向量组的秩的定义

设向量组$A$，如果在$A$中能选出$r$个向量$a_{1},a_{2},\cdots,a_{r}$，满足

• 向量组$A_0:a_{1},a_{2},\cdots,a_{r}$线性无关

• 向量组$A$中任意$r+1$个向量（如果$A$中有$r+1$个向量的话）都线性相关

那么称向量组$A_{0}$是向量组$A$的一个最/极大线性无关向量组（简称最大无关组）；最大无关组所含向量个数$r$称为向量组$A$的秩，记作$R_{A}$

二、性质

• 矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩

• 设向量组$A_{0}:a_{1},a_{2},\cdots,a_{r}$是向量组$A$的一个部分组，且满足

      - 向量组$A_{0}$线性无关

      - 向量组$A$的任一向量都能由向量组$A_{0}$线性表示

      那么向量组$A_{0}$便是向量组$A$的一个最大无关组

• 向量组$b_{1},b_{2},\cdots,b_{l}$能由向量组$a_{1},a_{2},\cdots,a_{m}$线性表示的充要条件是$R(a_{1},a_{2},\cdots,a_{m})=R(a_{1},\cdots,a_{m},b_{1},\cdots,b_{l})$

• 若向量组$B$能由向量组$A$线性表示，则$R_{B}\leq R_{A}$

求向量组的最大无关组相关问题

• 将向量组组成矩阵，进行初等行变换为行阶梯形（求极大无关组）/行最简形（求极大无关组和表示）

• 所有第一个非零元素所对应的列向量构成一个极大无关组

例1：设矩阵$A=\begin{pmatrix}2 & -1 & -1 & 1 & 2 \ 1 & 1 & -2 & 1 & 4 \ 4 & -6 & 2 & -2 & 4 \ 3 & 6 & -9 & 7 & 9\end{pmatrix}$，求矩阵$A$的列向量组的一个最大无关组，并把不属于最大无关组的列向量用最大无关组线性表示

$A \Rightarrow\begin{pmatrix}1 & 0 & -1 & 0 & 4 \ 0 & 1 & -1 & 0 & 3 \ 0 & 0 & 0 & 1 & -3 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$

则极大无关组为$\begin{pmatrix}2 \ 1 \ 4 \ 3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-1 \ 1 \ -6 \ 6\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1 \ 1 \ -2 \ 7\end{pmatrix}$

列向量从左到右分别设为$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_{5}$

$\alpha_3=-\alpha_1-\alpha_2,\alpha_5=4\alpha_1+\alpha_2-\alpha_4$