【证明】矩阵可以对角化的充要条件是矩阵有n个线性无关的特征向量

定理 1　 阶矩阵 与对角矩阵相似（即 能对角化）的充分必要条件是 有

证明　不妨设有可逆矩阵 ，使 为对角矩阵。把 用其列向量表示为

由 ，得 ，即

于是有

可见 是 的特征值，而 的列向量 就是 的对应于特征值

首先证明充分性。因为矩阵 与对角矩阵相似，所以可逆矩阵 存在，从而矩阵 的秩等于矩阵的阶数 ，进而向量组 线性无关，即 有

再次证明充分性。因为 有 个线性无关的特征向量，所以向量组向量组 线性无关，从而矩阵 的秩等于矩阵的阶数 ，矩阵 可逆且存在，于是矩阵