【证明】对称矩阵特征方程k重根恰有k个线性无关的特征向量

前置定理 1　设 为 阶对称矩阵，则必有正交矩阵 ，使 ，其中 是以 为

前置定理 2　若可逆矩阵 、 使 ，则 。

证明见 “​​矩阵的秩的性质​​”。

推论 1　设 为 阶对称矩阵， 是 的特征方程的 重根，则矩阵 的秩 ，从而对应特征值 恰有

证明　根据前置定理 1 可知，对称矩阵 与对角矩阵 相似，从而有 与

当 是 的 重根时， 这 个特征值中有 个等于 ，有 个不等于 ，从而对角矩阵 中的对角元恰有 个等于 ，于是 。

根据前置定理 2，因为对称矩阵 与对角矩阵 相似，所以 。得证。