[[EVD]] - 剑指 Offer 14- I. 剪绳子

题目分析:[[EVD]] - 剑指 Offer 14- I. 剪绳子https://leetcode-cn.com/problems/jian-sheng-zi-lcof/submissions/

简单描述:

• 给你一根长度为 n 的绳子，请把绳子剪成整数长度的 m 段（m、n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为 k[0],k[1]...k[m-1] 。请问 k[0]*k[1]*...*k[m-1] 可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。

限制🚫

• 2 <= n <= 58

示例:

解题思路:

思路:

• #数学 #贪心
  • 算术几何均值不等式 
  • 列乘积公式求导计算分析极大值后,可知,切分原则为
  • 1、尽可能切成长度为3的多段; %3后最后一段有0、1、2三种可能
  • 2、当最后一段为2时保留;为1时将一段3拿去拆分,2*2>3*1
• #动态规划DP
  • dp操作,只有一个决策,剪与不剪,用一维数组表示
  • dp[i]:长度为i的绳子剪成m段后的最大乘积
  • 状态分析:
    • dp[i]有n种剪法,但基础在于两段式,另设j为第一段长
    • dp[i-j]:长度为i的绳子里,(i-j)长度部分切割为m-1段的最大乘积
  • 状态转移方程,第一段长j,则剩余段长i-j
    • dp[i] = max(dp[i-j]*j, j*(i-j));

效率:

• 1.数学公式、贪心 时间复杂度空间复杂度
• 2.DP 时间复杂度空间复杂度

代码:

• 1.数学公式、贪心

class Solution
{
public:
    /*数学推导,最优长度为3,尽量切为3cm的多段叠加*/
    int cuttingRope(int n)
    {
        if (n <= 3)
            return n - 1;
        int a = n / 3;
        int b = n % 3;
        if (b == 0)
            return pow(3, a);
        else if (b == 1)
            return pow(3, a - 1) * 2 * 2;
        return pow(3, a) * 2;
    }
};

• 2.DP

class Solution
{
public:
    /*动态规划dp*/
    int cuttingRope(int n)
    {
        if (n <= 3)
            return n - 1;
        int dp[n + 1];
        memset(dp, -1, sizeof(dp));
        dp[2] = 1; /*也可设dp[1]=1,但循环i从2开始*/
        for (int i = 3; i <= n; i++)    /*绳子长度*/
            for (int j = 2; j < i; j++) /*二段绳子*/
                dp[i] = max(dp[i], max(dp[i - j] * j/*m-1段+1段*/, j * (i - j)/*两段式*/));
        return dp[n];
    }
};