【算法模板】动态规划（基础背包篇）—附习题

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【算法模板】动态规划（基础背包篇）—附习题

背包问题简介

背包问题（Knapsack problem） 是一种组合优化的 NP 完全问题。问题可以描述为：给定一组物品，每种物品都有自己的重量和价格，在限定的总重量内，我们如何选择，才能使得物品的总价格最高。问题的名称来源于如何选择最合适的物品放置于给定背包中。

而目前的背包问题大致可以分为九解，俗称背包九解。而今天给大家带来比较常见的几种背包问题的秒杀模板！！！

常见的背包类型主要有以下几种：

1、0/1背包问题：每个元素最多选取一次
2、完全背包问题：每个元素可以重复选择
3、组合背包问题：背包中的物品要考虑顺序
4、分组背包问题：不止一个背包，需要遍历每个背包

且每个背包的要求也是不同的，经常会有一下一些问题：

最大/小值问题。
是否存在问题。
组合问题。

而这些问题基本上是涵盖了很多背包问题，所以本篇文章就带大家来透过迷雾看本质！！！

本篇文章时博主站在巨人们的肩膀上整理出来文章。如果哪个地方不足，还请大佬们斧正，我将不尽感激！！

经典01背包模板

先来个简单的入门背包。

很过分必须发朋友圈 - 最近很火的熊猫头表情包_熊猫头_斗图表情

01背包简介：

01背包是背包问题中入门的一个背包问题，一般01背包是每个元素最多选取一次。

我们来看一个最最最经典的01背包习题：

也就说这个背包是最经典入门问题，我们先来看一下它的二维数组的解题模板。

Python版本：

def a(item,cap):
    #创建一个二维数组
    key = [[0 for _ in range(cap + 1)] for _ in range(len(item) + 1)]
    #进行循环判断
    for y in range(1,len(item) +1):
        #记录每个物品的重量和价值
        value = item[y-1][0]
        weight = item[y-1][1]
        #循环背包容量
        for x in range(cap+1):
            #如果背包容量大于该物品重量，进行判断原来的背包价值，和加上这个物品后价值的比较取最大值。
            if x >= weight:
                key[y][x] = max(key[y-1][x] , key[y-1][x - weight]+value)
             #如果小于，就直接继承上面的值。
            else:key[y][x] = key[y-1][x]
    return key[-1][-1]
 
item = [[1,2],[4,3],[5,6],[6,7]]
cap = 10
print(a(item,cap))

Java版本：


class Solution {
    public int Beibao(int[] c, int a) {
        int[][] dp = new int[c.length + 1][a + 1];
        for (int i = 0 ; i < c.length ; i ++){
            value = c[i][0];
        	weight = c[i][1];
            for (int j = 1 ; j < a + 1 ; j ++){
                if (j >= weight){
                dp[i][j] = Math.min(dp[i - 1][j - weight] +value , dp[i - 1][j]) ;
            }
                else{
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j];
                }
            }
        }
        return dp[-1][-1];
    }
}

OK，我们是看过了上面的二维模板，其实我们能进行一个优化，将其转化为一维的dp空间。转换的时候第二个循环需要倒序，这个是一个对初学者比较难理解的问题，博主建议大家可以去B站找一个视频看一下动态的讲解。

一维模板：

Python版：

def a(item,cap):
    #创建一个二维数组
    key = [0 for _ in range(cap + 1)] 
    #进行循环判断
    for y in range(1,len(item) +1):
        #记录每个物品的重量和价值
        value = item[y-1][0]
        weight = item[y-1][1]
        #循环背包容量,倒序记着
        for x in range(cap,-1,-1):
            #如果背包容量大于该物品重量，进行判断原来的背包价值，和加上这个物品后价值的比较取最大值。
            if x >= weight:
                key[x] = max(key[x] , key[x - weight]+value)
             #如果小于，就直接继承上面的值。
            else:key[x] = key[x]
    return key[-1]
 
item = [[1,2],[4,3],[5,6],[6,7]]
cap = 10
print(a(item,cap))

Java版本：


class Solution {
    public int Beibao(int[] c, int a) {
        int[][] dp = new int[a + 1];
        for (int i = 0 ; i < c.length ; i ++){
            value = c[i][0];
        	weight = c[i][1];
            for (int j = a ; j >= 0 ; j --){
                if (j >= weight){
                dp[j] = Math.min(dp[j - weight] +value , dp[j]) ;
            }
                else{
                    dp[j] = dp[j];
                }
            }
        }
        return dp[-1];
    }
}

分类解题模板

模板

在上述中我们知道了一些常见的背包问题，其实在上述每个问题中都是适用于下面的总结：

首先是背包分类的模板：

1、0/1背包：外循环nums,内循环target,target倒序且target>=nums[i];
2、完全背包：外循环nums,内循环target,target正序且target>=nums[i];
3、组合背包(考虑顺序)：外循环target,内循环nums,target正序且target>=nums[i];
4、分组背包：这个比较特殊，需要三重循环：外循环背包bags,内部两层循环根据题目的要求转化为1,2,3三种背包类型的模板

然后是问题分类的模板：

1、最值问题: dp[i] = max/min(dp[i], dp[i-nums]+1)或dp[i] = max/min(dp[i], dp[i-num]+nums);
2、存在问题(bool)：dp[i]=dp[i]||dp[i-num];
3、组合问题：dp[i]+=dp[i-num];

上面这个真的是对做这种背包问题十分十分重要的！！！

分割等和子集

416. 分割等和子集

题目：

示例1：

输入：nums = [1,5,11,5]
输出：true
解释：数组可以分割成 [1, 5, 5] 和 [11] 。

思路：

本题可以说是一个非常经典的 01背包 问题。首先当这个 nums和为奇数的时候肯定是不满足本题要求的，所以肯定就直接排除。当为偶数的时候，我们可以以nums 数组和的一半当作 背包容量 ，且nums里面的元素当作物品。当然这个也是一个 存在问题 ，所以这个我们就可以直接套用上述的 模板2 （dp[i]=dp[i]||dp[i-num]）。

代码部分

Java版本：

class Solution {
    public boolean canPartition(int[] nums) {
        //计算数组nums的和
        int sum = 0;
        for (int s : nums){
            sum += s;
        }
        //判断和是否为偶数
        if (sum % 2 != 0) return false;
        int t = sum / 2;//获取背包容量
        boolean[] dp = new boolean[t + 1];//dp数组的创建
        dp[0] = true;//设置最开始的为True，因为最开始的背包容量为0的时候肯定是True
        for (int i = 0; i < nums.length; i++){//外循环为nums
            int c = nums[i];
            for (int j = t; j > 0 ; j--){//内循环为target，且一定要使用倒序，这个不明白的可以看最后的参考部分
                if (j == c) dp[j] = true;//当nums中的物品等于背包容量时，肯定是为True的
                if (j >= c) {//这个就需要判断nums数组中是相加是否能满足背包容量吗
                    dp[j] = dp[j] || dp[ j- c ]; 
                }
            }
        }
        return dp[t];//最后返回结果

    }
}

Python版本：

class Solution:
    def canPartition(self, nums: List[int]) -> bool:
        s = sum(nums) 
        if s % 2 != 0:
            return False
        s //= 2
        dp = [False] * (s + 1)
        for i in range(len(nums)):
            x = nums[i]
            for j in range(s, 0,-1):
                if x == j :
                    
                    dp[j] = True
                else:
                    if j - x >= 0:
                        dp[j] = dp[j] or dp[j - x]
                    else:
                        dp[j] = dp[j]
        
        return dp[s]

OK，这个 01背包问题 大家可以去练习练习哦！！！

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爬楼梯（进阶）

70. 爬楼梯

题目：

示例1：

输入：n = 2
输出：2
解释：有两种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶
2. 2 阶

首先本题是一个非常简单的 DP 问题，我们可以使用一维的 DP数组 来进行求解，且很快就能解出来。但是，如果我们把题目给换一个下—— 将爬楼梯的方法改为1、2、3、4…这样这个就是完全背包问题，且就可以把方法当作物品，楼梯阶数当作背包容量，且满足上诉的第三类模块—dp[i]+=dp[i-num] 且这个就是一个外循环target和内循环nums。OK，接下来我们来看代码解析。

代码部分

Java版本：

class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
        int[] dp = new int[n + 1];//定义dp数组
        dp[0] = 1;//初始化dp数组，第一个下标值为1
        for (int i = 1; i < n + 1; i++){//外循环target从1开始
            for (int j = 1 ; j < 3 ; j++){//内循环nums
                if (i >= j){//判断如果背包容量大于物品重量则计算共有多少种
                    dp[i] += dp[i - j];
                }
            }
        }
        return dp[n];

    }
}

Python版本：

class Solution:
    def climbStairs(self, n: int) -> int:
        dp = [0] * (n + 1)
        dp[0] = 1
        for i in range(1,n + 1):
            for j in range(1, 3):
                if i >= j :
                    dp[i] += dp[i - j]
                    
        return dp[-1]

组合总和IV

377. 组合总和 Ⅳ

题目：

示例：

输入：nums = [1,2,3], target = 4
输出：7
解释：
所有可能的组合为：
(1, 1, 1, 1)
(1, 1, 2)
(1, 2, 1)
(1, 3)
(2, 1, 1)
(2, 2)
(3, 1)
请注意，顺序不同的序列被视作不同的组合。

思路：

本题一看就是一个 背包问题 ，拿 target当作背包容量，拿nums的元素当作物品。但是这种背包问题是属于上述的那种类型呢？

这个就需要我们仔细去观察了。在题目中我们能通过组合这个字眼能知道本题是上述的 组合类型背包 ，所以我们直接套用组合类型的背包模板即可进行一个秒杀。

注意： 和其他背包模板的顺序不同，背包模板的 target 是外循环，且nums 是内循环！！！因为如果两者反过来则会导致一些组合不会被计算上（不要问我怎么知道的5555）。

代码部分

Java版本：

class Solution {
    public int combinationSum4(int[] nums, int target) {
        int n = nums.length;//首先获取nums数组的长度。
        int[] dp = new int[ target + 1];//创建一个压缩的dp数组（如果不太动压缩的dp数组，可以看参考部分）。
        dp[0] = 1;//初始化dp数组。
        for (int i = 1; i < target + 1 ; i++){//让target作为外循环。
            for (int j = 0 ; j < n ; j++){//让nums作为内循环，且这个一定要是正序（不理解可以去看参考部分）
                int c = nums[j];
                if(i >= c){//进行一个判断，如果背包容量是大于这个物品就需要进行一个累加计算。
                dp[i] += dp[i - c];
                }
            }
        }
        return dp[target];//返回最后的值。

    }
}

Python版本：

#道理和Java版本是一样的，这里我就不再过多的赘述了。
class Solution:
    def combinationSum4(self, nums: List[int], target: int) -> int:
        dp = [0 for i in range(target + 1)]
        dp[0] = 1
        for i in range(target + 1):
            for j in nums :
                if (i >= j):
                    dp[i] +=dp[i - j]
        return dp[-1]

最后一块石头2

1049. 最后一块石头的重量 II

题目：

示例：

输入：stones = [2,7,4,1,8,1]
输出：1
解释：
组合 2 和 4，得到 2，所以数组转化为 [2,7,1,8,1]，
组合 7 和 8，得到 1，所以数组转化为 [2,1,1,1]，
组合 2 和 1，得到 1，所以数组转化为 [1,1,1]，
组合 1 和 1，得到 0，所以数组转化为 [1]，这就是最优值。

本题相比较于其他题，是一个比较难的一种题，而难点就是在怎么把这个题转化为 背包问题 。其实我们能将石头分为两部分，拿其中一部分作为减去另外一部分，则最小的绝对值差值就是我们需要得到的结果，所以我们能拿其中的一部分石头作为 背包容量 ，把stones中的元素作为物品价值，则就可以把本问题转化为了 01背包问题。

代码部分：

Java版本：

class Solution {
    public int lastStoneWeightII(int[] s) {
        int Sum = 0;//统计总和
        for (int i = 0; i < s.length ; i ++ ){
            Sum += s[i];
        }
        int t = Sum / 2;//用sum的一半作为背包容量，也就是说在这个背包能获取的最大子是多少。
        int[] dp = new int[t + 1];//创建dp数组。
        for(int S = 0 ; S < s.length ; S ++){//进行nums外循环。
            for (int j = t ; j >= 0 ; j -- ){//因为是01背包所以需要倒序。
                if (j >= s[S]){//判断背包容量是否是大于物品重量。
                    dp[j] = Math.max(dp[j] , dp[j - s[S]] + s[S]);//套用最大值公式。
                }
            }
        }
        
        return Sum - dp[t] * 2;//减去两倍就相当于最小差值

    }
}

Python版本：

class Solution:
    def lastStoneWeightII(self, s: List[int]) -> int:
        Sum = sum(s)
        t = Sum // 2
        dp = [0 for i in range(t + 1)]
        for i in s:
            for j in range(t,  0 , -1):
                if j >= i:
                    dp[j] = max(dp[j] ,dp[j - i] + i)
        
        return Sum - dp[t] * 2

掷骰子的N种方法

题目：

示例：

输入：n = 1, k = 6, target = 3
输出：1
解释：你扔一个有6张脸的骰子。
得到3的和只有一种方法。

思路：

投掷骰子的方法数：d个骰子,每个有f个面(点数为1,2,…f),求骰子点数和为target的方法
分组0/1背包的组合问题：dp[i][j]表示投掷i个骰子点数和为j的方法数;三层循环：最外层为背包d,然后先遍历target后遍历点数f
应用二维拓展的转移方程3：dp[i][j]+=dp[i-1][j-f];

代码：

Java版本：

class Solution {
    int mod = (int)1e9+7;
    public int numRollsToTarget(int n, int k, int t) {
        int[] dp = new int[t + 1];
        dp[0] = 1;
        for(int i= 0 ; i < n ; i++){
            for(int j = t ; j >= 0 ; j--){
                dp[j] = 0;
                for(int m = 1; m <= k ; m ++ ){
                    if (j >= m){
                        dp[j] = (dp[j] + dp[j - m]) % mod;
                    }
                }
            }
        }
        return dp[t];

    }
}