【动态规划/背包问题】分组背包问题练习篇-CFANZ编程社区

前言

今天是我们讲解动态规划专题中的 「背包问题」的第十三篇。

今天将完成一道「分组背包」练习题。

由于 LeetCode 没有与「分组背包求最大价值」相关的题目，因此我们使用「分组背包求方案数」来作为练习篇。

另外，我在文章结尾处列举了我所整理的关于背包问题的相关题目。

背包问题我会按照编排好的顺序进行讲解（每隔几天更新一篇，确保大家消化）。

你可以先尝试做做，也欢迎你向我留言补充，你觉得与背包相关的 DP 类型题目 ~

题目描述

这是 LeetCode 上的 1155. 掷骰子的N种方法 ，难度为中等。

Tag : 「背包问题」、「动态规划」、「分组背包」

这里有 d 个一样的骰子，每个骰子上都有 f 个面，分别标号为 1,2,...,f。

我们约定：掷骰子的得到总点数为各骰子面朝上的数字的总和。

如果需要掷出的总点数为 target，请你计算出有多少种不同的组合情况（所有的组合情况总共有种），模后返回。

示例 1：

输入：d = 1, f = 6, target = 3

输出：1

示例 2：

输入：d = 2, f = 6, target = 7

输出：6

示例 3：

输入：d = 2, f = 5, target = 10

输出：1

示例 4：

输入：d = 1, f = 2, target = 3

输出：0

示例 5：

输入：d = 30, f = 30, target = 500

输出：222616187

提示：

1 <= d, f <= 30
1 <= target <= 1000

分组背包

在分组背包问题中我们提到，分组背包不仅仅有「组内物品最多选择一个」的情况，还存在「组内物品必须选择一个」的情况。

对于本题，可以将每个骰子看作一个物品组，且每次必须从物品组中选择一个物品（所掷得的数值大小视作具体物品）。

这样就把问题转换为：用个骰子（物品组）进行掷，掷出总和（取得的总价值）为的方案数。

虽然，我们还没专门讲过「背包问题求方案数」，但基本分析与「背包问题求最大价值」并无本质区别。

我们可以套用「分组背包求最大价值」的状态定义来微调： 表示考虑前个物品组，凑成价值为的方案数。

为了方便，我们令物品组的编号从开始，因此有显而易见的初始化条件。

代表在不考虑任何物品组的情况下，只有凑成总价值为的方案数为，凑成其他总价值的方案不存在。

不失一般性考虑该如何转移，也就是考虑第个物品组有哪些决策。

根据题意，对于第个物品组而言，可能决策的方案有：

第个骰子的结果为，有
第个骰子的结果为，有
...
第个骰子的结果为，有

则是上述所有可能方案的方案数总和，即有：

朴素二维

代码：

class Solution {
    int mod = (int)1e9+7;
    public int numRollsToTarget(int n, int m, int t) {
        int[][] f = new int[n + 1][t + 1];
        f[0][0] = 1;
        // 枚举物品组（每个骰子）
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            // 枚举背包容量（所掷得的总点数）
            for (int j = 0; j <= t; j++) {
                // 枚举决策（当前骰子所掷得的点数）
                for (int k = 1; k <= m; k++) {
                    if (j >= k) {
                        f[i][j] = (f[i][j] + f[i-1][j-k]) % mod;
                    }
                }
            }
        }
        return f[n][t];
    }
}

时间复杂度：
空间复杂度：

滚动数组

根据状态转移方程，我们发现明确只依赖于，且。

因此我们可以使用之前学过的「滚动数组」，用很机械的方式将空间从优化至。

需要注意的是，由于我们直接是在格子的基础上进行方案数累加，因此在计算记得手动置零。

代码：

class Solution {
    int mod = (int)1e9+7;
    public int numRollsToTarget(int n, int m, int t) {
        int[][] f = new int[2][t + 1];
        f[0][0] = 1;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            int a = i & 1, b = (i - 1) & 1;
            for (int j = 0; j <= t; j++) {
                f[a][j] = 0; // 先手动置零
                for (int k = 1; k <= m; k++) {
                    if (j >= k) {
                        f[a][j] = (f[a][j] + f[b][j-k]) % mod;
                    }
                }
            }
        }
        return f[n&1][t];
    }
}

时间复杂度：
空间复杂度：

一维空间优化

更进一步，利用「明确只依赖于，且」，我们能通过「01 背包」一维空间优化方式：将物品维度取消，调整容量维度遍历顺序为「从大到小」。

代码：

class Solution {
    int mod = (int)1e9+7;
    public int numRollsToTarget(int n, int m, int t) {
        int[] f = new int[t + 1];
        f[0] = 1;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = t; j >= 0; j--) {
                f[j] = 0;
                for (int k = 1; k <= m; k++) {
                    if (j >= k) {
                        f[j] = (f[j] + f[j-k]) % mod;
                    }
                }
            }
        }
        return f[t];
    }
}