区间PD之石子合并-CFANZ编程社区

设有 N堆石子排成一排，其编号为 1,2,3,…,N

每堆石子有一定的质量，可以用一个整数来描述，现在要将这 N堆石子合并成为一堆。

每次只能合并相邻的两堆，合并的代价为这两堆石子的质量之和，合并后与这两堆石子相邻的石子将和新堆相邻，合并时由于选择的顺序不同，合并的总代价也不相同。

例如有 4 堆石子分别为 1 3 5 2，我们可以先合并 1、2 堆，代价为 4，得到 4 5 2，又合并 1、2 堆，代价为 9，得到 9 2 ，再合并得到 11，总代价为 4+9+11=24；

如果第二步是先合并 2、3堆，则代价为 7，得到 4 7，最后一次合并代价为 11，总代价为 4+7+11=22

问题是：找出一种合理的方法，使总的代价最小，输出最小代价。

输入格式

第一行一个数 N表示石子的堆数 N。

第二行 N 个数，表示每堆石子的质量(均不超过 1000)。

输出格式

输出一个整数，表示最小代价。

数据范围

1≤N≤300

输入样例：

4
1 3 5 2

输出样例：

模拟一下最基本的过程。

我们假设f[i][j]为将石子从 i - j 合并的最小代价。

如果以1-n这n个数中的间隔划分

f[i][j] = min(f[1][k]+f[k+1[n]+s[n]) k 属于1~n s[n]是1~n这n个数的和,即最后一次合并的花费。

然后f[1][k] 和 f[k+1][n]又可以通过同样的分法得出

这就满足了DP最基本的思想，小状态求解大状态。

状态转移方程：

f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k+1][j]+s[j]-s[j-1]);

代码：

#include<iostream>
using namespace std;
const int N=310;

int a[N],s[N],f[N][N];
int n;

int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>a[i];
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)s[i]=s[i-1]+a[i];//求前缀和
   for(int len = 2;len<=n;len++)//枚举区间长度
  	for(int i=1;i+len-1<=n;i++)//枚举左边界
  	{  
      	int j = i+len-1;
     	  f[i][j]= 0x3f3f3f3f;
      	for(int k=i;k<=j;k++)//枚举划分点
      	{
          f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k+1][j]+s[j]-s[i-1]);
      	}
 		 } 
    cout<<f[1][n];
}

当然有人可能还会想到另一种枚举方法

枚举左边界

枚举有边界

然后再枚举划分点

但是这样写会出现一个问题，就是在枚举划分点的时候，我们划分点左边的那一段，可能求出来了，但是划分点的另一段，起点未被枚举到，所以就没算出来过。

例：

for(int i=1;i<=n;i++)f[i][i]=a[i];
for(int i=1;i<=n;i++)f[i][i]=a[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)//枚举左边界
    {
        for(int j=1;j<=n;j++)//枚举右边界
        {
            if(i!=j)
            {
                f[i][j]=0x3f3f3f3f;
                for(int k=i;k<j;k++)//枚举划分段
                {
                    f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k+1][j]);//这样划分就会碰到一个非常尴尬的情况
                    //就是说我i还是1的时候我f[k+1][j]中的k+1显然还没计算过。
                }
            }
        }
    }