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背包问题求字典序最小具体方案

王远洋 2022-02-27 阅读 60

之前做过一道题
链接: 背包问题求具体方案.
在这里插入图片描述
这题是让求字典序最小的01背包体积恰好求具体方案问题
今天做PTA训练题
链接: L3-凑零钱.时发现有异曲同工之妙。
思路分析
先对金额进行从小到大排序。
那么定义集合
f[i][j]:在前i个物品中选,体积恰好是j的金额。
让求最小序,比如包含1号物品的最优解,为确保最小字典序,则必然选取第一个,那么问题转换成从2~N这些物品中找到最优解。
不选第i个物品 f[i][j]=f[i+1][j]
选择第i个物品,f[i][j]=f[i+1][j-v[i]]+v[i]
则状态转移方程 f[i][j]=max(f[i][j],f[i+1][j-v[i]]+v[i])
让最大值结果在f[1][m]
如果一个物品选或不选都可以得到最优解,为了考虑字典序最小,我们也需要选择该物品,从前往后枚举时加上。
凑零钱代码
二维dp

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e4 + 7;
int n, v;
int w[N];
int dp[N][N];
int ans[N];
int main()
{
    cin >> n >> v;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) cin >> w[i];
    sort(w + 1, w + 1 + n);
    int cnt = 0;
    for (int i = n; i >= 1; i--)
        for (int j = 0; j <= v; j++)
        {
            dp[i][j] = dp[i + 1][j];
            if (j >= w[i])
                if (dp[i + 1][j - w[i]] + w[i] >= dp[i][j])
                    dp[i][j] = dp[i + 1][j - w[i]] + w[i];
        }
    if (dp[1][v] != v) cout << "No Solution" << '\n';
    else
    {
        for (int i = 1, j = v; i <= n; i++)
        {
            if (j >= w[i] && dp[i][j] == dp[i + 1][j - w[i]] + w[i])
            {
                ans[++cnt] = w[i];
                j -= w[i];
            }
        }
        for (int i = 1; i <= cnt; ++i)
            if (i == cnt) cout << ans[i] << endl;
            else cout << ans[i] << " ";
    }
    return 0;
}

一维dp

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e4 + 7;
int n, v;
int w[N];
int dp[N];
int ans[N];
int g[N][N];
int main()
{
    cin >> n >> v;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) cin >> w[i];
    sort(w + 1, w + 1 + n);
    int cnt = 0;
    for (int i = n; i >= 1; i--)
        for (int j = v; j >= w[i]; j--)
        {
                if (dp[j - w[i]] + w[i] >= dp[j])
                {
                    dp[j] = dp[j - w[i]] + w[i];
                    g[i][j]=1;
                }
        }
    if (dp[v] != v) cout << "No Solution" << endl;
    else
    {
        for (int i = 1, j = v; i <= n; i++)
        {
            if (j >= w[i] && g[i][j])
            {
                ans[++cnt] = w[i];
                j -= w[i];
            }
        }
        for (int i = 1; i <= cnt; ++i)
            if (i == cnt) cout << ans[i] << endl;
            else cout << ans[i] << " ";
    }
    return 0;
}

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