[动态规划]HJ24 合唱队-中等

​​HJ24 合唱队​​

描述

N 位同学站成一排，音乐老师要请最少的同学出列，使得剩下的 K 位同学排成合唱队形。

设位同学从左到右依次编号为 1，2…，K ，他们的身高分别为 ，若存在 使得 且 ，则称这名同学排成了合唱队形。

通俗来说，能找到一个同学，他的两边的同学身高都依次严格降低的队形就是合唱队形。

例子：

123 124 125 123 121 是一个合唱队形

123 123 124 122不是合唱队形，因为前两名同学身高相等，不符合要求

123 122 121 122不是合唱队形，因为找不到一个同学，他的两侧同学身高递减。

你的任务是，已知所有N位同学的身高，计算最少需要几位同学出列，可以使得剩下的同学排成合唱队形。

注意：不允许改变队列元素的先后顺序 且 不要求最高同学左右人数必须相等

数据范围： 

输入描述：

用例两行数据，第一行是同学的总数 N ，第二行是 N 位同学的身高，以空格隔开

输出描述：

最少需要几位同学出列

示例1

输入：

8
186 186 150 200 160 130 197 200

复制

输出：

4

说明：

由于不允许改变队列元素的先后顺序，所以最终剩下的队列应该为186 200 160 130或150 200 160 130

题解

动态规划解法

思路：

根据题意，假设我们选取索引为i的同学作为中间人选，则只需要求出[0,i-1]的最长递增序列，以及[i+1,n-1]的最长递减序列即可知道最少的出队次数。

步骤：

1. 使用inc_dp[i]表示从左到右遍历时以索引i结束时的最长递增序列长度
2. 使用dec_dp[i]表示从左到右遍历时以索引i结束时的最长递减序列长度
3. inc_dp初始条件：inc_dp[0] = 1，表示只有一个元素
4. 推导条件：dp[i] = max(dp[i],dp[k] + 1)，其中k是[0,i-1]范围内的元素，且height[k] < height[i]，表示取前[0,k]个元素作为递增序列的时候，再加上第i个元素能组成的递增序列长度
5. dec_dp的初始化、推导条件和inc_dp类似
6. 求解：遍历整个数组，以索引i为中心时需要出队的长度len = height.size() - (inc_dp[i]+dec_dp[i]-1)，也就是总人数减去以i为中心索引时左边的递增长度、右边的递减长度

代码如下：

#include<iostream>
#include<string>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;


int solve(const std::vector<int> &v)
{
    std::vector<int> inc_dp(v.size(),1);
    std::vector<int> dec_dp(v.size(),1);
    for (int i = 1;i < v.size();++i)
    {
        for (int k = i - 1;k >= 0;--k)
        {
            if (v[i] > v[k])
            {
                inc_dp[i] = std::max(inc_dp[k]+1,inc_dp[i]);
            }
            else if (v[i] == v[k])
            {
                inc_dp[i] = std::max(inc_dp[i],inc_dp[k]);
            }
        }
    }
    for (int i = v.size() - 1;i > 0;--i)
    {
        for (int k = i + 1;k < v.size();++k)
        {
            if (v[i] > v[k])
            {
                dec_dp[i] = std::max(dec_dp[k]+1,dec_dp[i]);
            }
            else if (v[i] == v[k])
            {
                dec_dp[i] = std::max(dec_dp[i],dec_dp[k]);
            }
        }
    }
    
    int len = 0;
    for (int i = 0;i < v.size();++i)
    {
        len = std::max(len,(inc_dp[i] + dec_dp[i] - 1));
    }
    return v.size() - len;
}

int main()
{
  int n;
  std::cin >> n;
  std::vector<int> v(n, 0);
  for (int i = 0; i < n; ++i)
  {
    std::cin >> v[i];
  }
  std::cout << solve(v) << std::endl;
  return 0;
}