39 全排列（Permutations）-CFANZ编程社区

文章目录

1 题目

题目：全排列（Permutations）
描述：给定一个数字列表，返回其所有可能的排列。假设没有重复的数字。

样例1：

输入：列表 = [1]
输出：
[
  [1]
]

样例2：

输入：列表 = [1,2,3]
输出：
[
  [1,2,3],
  [1,3,2],
  [2,1,3],
  [2,3,1],
  [3,1,2],
  [3,2,1]
]

2 解决方案

2.1 思路

寻找所有的排列，考虑使用深度优先搜索（Depth First Search），递归时需要去重，去重不能直接跳过当前元素向后取，因为所有元素在结果里都必须需要出现一次，根据递归的分析图，需要在竖直分支上去重（区别于同一层级去重），考虑使用set数据结构的特性（重复元素只能插入一次）来进行去重。

2.2 图解

nums = [1,2,3]的情况下，深度优先搜索的图如下：

去重——去掉同一竖直分支上的包含重复元素的解（上图虚线解），结果如下：

2.3 时间复杂度

深度优先搜索的时间复杂度是逻辑图上的节点数（即所有元素的组合数，n个元素，每个元素都有取或不取两种可能，所以是2的n次方）与处理每个节点的耗时（for循环n次）的乘积，该题的算法的时间复杂度为O(2^n * n)。

2.4 空间复杂度

使用了vector和set数据结构保存节点，算法的空间复杂度为O(n)。

3 源码

细节：

使用set进行同一分支去重（横向），set要放在参数里向下传递，沿分支路径向下去重（需要回溯），注意区别同一层级去重（不需要回溯）。
空集返回的是[[]]，而不是[]。

C++版本：

/**
* @param nums: A list of integers.
* @return: A list of permutations.
*/
vector<vector<int>> permute(vector<int> &nums) {
    // write your code here
    vector<vector<int>> results;
    if (nums.empty())
    {
        results.push_back(vector<int>());
        return results;
    }
    
    vector<int> path; // 当前的排列
    set<int> usedElement; // 已使用的元素
    // 递归的定义
    dfs(nums, usedElement, path, results);
    
    return results;
}

void dfs(vector<int> & nums, set<int> & usedElement, vector<int> & path, vector<vector<int>> & results)
{
    // 递归的出口
    if (path.size() == nums.size())
    {
        results.push_back(path);
        return;
    }
    
    // 递归的拆解
    for (int i = 0; i < nums.size(); i++)
    {
        if (usedElement.find(nums.at(i)) != usedElement.end())
        {
            continue;
        }
        
        usedElement.insert(nums.at(i));
        path.push_back(nums.at(i));
        dfs(nums, usedElement, path, results);
        path.pop_back();
        usedElement.erase(nums.at(i));
    }
}

4 另解

4.1 交换法

依次以一个元素为头，找到以该元素为头进行变换而成的所有排列结果。
变换的方式为依次交换之后的每个元素与该头元素，从而形成不同的排列结果。

/**
* @param nums: A list of integers.
* @return: A list of permutations.
*/
vector<vector<int>> permute(vector<int> &nums) {
    // write your code here
    vector<vector<int>> results;
    if (nums.empty())
    {
        return results;
    }
    
    // 递归定义，全排列startIndex向后的序列，存入results中
    subPermute(nums, 0, results);
    
    return results;
}

void subPermute(vector<int> & nums, int startIndex, vector<vector<int>> & results)
{
    // 递归出口
    if (startIndex == nums.size() - 1)
    {
        results.push_back(nums);
        return;
    }
    
    // 递归的拆解
    for (int i = offset; i < nums.size(); i++)
    {
        // 以startIndex位置的元素为头，每次与之后的元素交换，并全排列startIndex+1的序列，每次到最后一个元素即可形成一个结果
        swap(nums.at(startIndex), nums.at(i));
        subPermute(nums, startIndex + 1, results);
        // 回溯
        swap(nums.at(startIndex), nums.at(i));
    }
}

4.2 插空法

将元素按照插空法逐个加入结果，直到所有元素都加入排列。
新加入的元素不必关心已经加入的元素的位置，只关心有哪些空位可以插入。

/**
* @param nums: A list of integers.
* @return: A list of permutations.
*/
vector<vector<int>> permute(vector<int> &nums) {
    // write your code here
    vector<vector<int>> results;
    if (nums.empty())
    {
        results.push_back(vector<int>());
        return results;
    }
    
    vector<int> remainSet = nums;
    subPermute(vector<int>(), remainSet, results); // 开始时基础序列为空
    return results;
}

// 递归的定义
void subPermute(vector<int> baseSet, vector<int> remainSet, vector<vector<int>> &results)
{
    // 递归的出口
    if (remainSet.empty())
    {
        results.push_back(baseSet);
        return;
    }
    
    for (int i = 0; i <= baseSet.size(); i++)
    {
        // 向基础序列加入元素
        baseSet.insert(baseSet.begin() + i, remainSet.front());
        int tmp = remainSet.front();
        remainSet.erase(remainSet.begin());
        // 递归的拆解
        subPermute(baseSet, remainSet, results);
        // 回溯
        baseSet.erase(baseSet.begin() + i);
        remainSet.insert(remainSet.begin(), tmp);
    }
}