信息学奥赛一本通 1281：最长上升子序列 | OpenJudge 2.6 1759:最长上升子序列

【题目链接】

ybt 1281：最长上升子序列
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【题目考点】

1. 动态规划：线性动规

【解题思路】

1. 确定状态

分析状态：
集合：上升的子序列
限制：子序列存在的区间
属性：序列长度
条件：最长
统计量：长度

状态定义：
dp[i]：以第i元素为结尾的最长上升子序列的长度。

2. 确定状态转移方程

• 分割集合：以第i元素为结尾的上升子序列构成的集合。
  • 子集1：对所有满足j < i的j， 如果第i元素大于第j元素，则以第j元素为结尾的上升子序列加上第i元素，形成新的上升子序列。
  • 子集2：否则，只有一个第i元素构成上升子序列。
• 分析状态变量：
  • 子集1：dp[i]为：所有满足j<i且第j元素小于第i元素的j取dp[j]+1
  • 子集2：dp[i]为1
    dp[i]为对所有可能的状态值中的最大值。

题目要求最长上升子序列，那么就是求以每个位置为结尾的最长上升子序列中最长的长度，即求dp数组中的最大值。

【题解代码】

解法1：线性动规

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 1005
int a[N], dp[N];//a[i]:第i个数 dp[i]:以i为结尾的最长上升子序列的长度 
int main()
{
    int n, mxlen = 0;
    cin >> n;
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
        cin >> a[i];
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        dp[i] = 1;//第j元素自己构成上升子序列 
        for(int j = 1; j < i; ++j)
            if(a[i] > a[j])
                dp[i] = max(dp[i], dp[j]+1);
    }
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
        mxlen = max(mxlen, dp[i]);
    cout << mxlen;
    return 0;
}