2022-1-10 516. 最长回文子序列（动态规划）-CFANZ编程社区

注：

题目：
给你一个字符串 s ，找出其中最长的回文子序列，并返回该序列的长度。

子序列定义为：不改变剩余字符顺序的情况下，删除某些字符或者不删除任何字符形成的一个序列。

示例 1：
输入：s = “bbbab”
输出：4
解释：一个可能的最长回文子序列为 “bbbb” 。
示例 2：
输入：s = “cbbd”
输出：2
解释：一个可能的最长回文子序列为 “bb” 。

提示：
1 <= s.length <= 1000
s 仅由小写英文字母组成

题解：
确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i][j]：字符串s在[i, j]范围内最长的回文子序列的长度为dp[i][j]。

确定递推公式
在判断回文子串的题目中，关键逻辑就是看s[i]与s[j]是否相同。

如果s[i]与s[j]相同，那么dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
如果s[i]与s[j]不相同，说明s[i]和s[j]的同时加入并不能增加[i,j]区间回文子串的长度，那么分别加入s[i]、s[j]看看哪一个可以组成最长的回文子序列。加入s[j]的回文子序列长度为dp[i + 1][j]；加入s[i]的回文子序列长度为dp[i][j - 1]。那么dp[i][j]一定是取最大的，即：dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);

dp数组如何初始化
首先要考虑当 i 和 j 相同的情况，从递推公式：dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2; 可以看出递推公式是计算不到 i 和 j 相同时候的情况。

所以需要手动初始化一下，当i与j相同，那么dp[i][j]一定是等于1的，即：一个字符的回文子序列长度就是1。

其他情况dp[i][j]初始为0就行，这样递推公式：dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]); 中dp[i][j]才不会被初始值覆盖。

确定遍历顺序
从递推公式dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2 和 dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]) 可以看出，dp[i][j]是依赖于dp[i + 1][j - 1] 和 dp[i + 1][j]，因此倒序遍历 i ，正序遍历 j 。

复杂度分析
时间复杂度：O(n²)，其中 n 是字符串 s 的长度。动态规划需要计算的状态数是 O(n²)。

空间复杂度：O(n²)，其中 n 是字符串 s 的长度。需要创建二维数组 dp，空间是 O(n²)。

class Solution {
public:
    int longestPalindromeSubseq(string s) {
        vector<vector<int>> dp(s.size(),vector<int>(s.size(),0));//字符串s在[i, j]范围内最长的回文子序列的长度为dp[i][j]
        for(int i=0;i<s.size();i++){
            dp[i][i]=1;
        }
        for(int i=s.size()-1;i>=0;i--){
            for(int j=i+1;j<s.size();j++){
                if(s[i]==s[j]){
                    dp[i][j]=dp[i+1][j-1]+2;
                }
                else{
                    dp[i][j]=max(dp[i+1][j],dp[i][j-1]);
                }
            }
        }
        return dp[0][s.size()-1];
    }
};