题目：

你前面有很长的车程。你有一台录音机，但不幸的是，你最好的音乐是在 CD 上。你需要把它放在磁带上，所以要解决的问题是：你有一个 N 分钟长的磁带。如何从 CD 中选择曲目以充分利用磁带空间并尽可能减少未使用的空间。

假设：

• CD 上的曲目数不超过 20

• 曲目不超过 N 分钟

• 曲目不重复

• 每个音轨的长度以整数表示

• N 也是整数程序应该找到最能填满磁带的轨道集，并以与轨道存储在 CD 上相同的顺序打印它

输入：

n<=10000,m<=20；

任意数量的行。每一个都包含值 N，（在空格之后）轨道数和轨道持续时间。例如，从样本数据的第一行开始：N = 5，曲目数=3，第一首曲目持续 1 分钟，第二首曲目持续 3 分钟，下一个曲目持续 4 分钟

输出：

一组轨道（和持续时间），它们是正确的解决方案和字符串“sum：”和持续时间的总和。

Sample Input

5 3 1 3 4
10 4 9 8 4 2
20 4 10 5 7 4
90 8 10 23 1 2 3 4 5 7
45 8 4 10 44 43 12 9 8 2

Sample Output
1 4 sum:5
8 2 sum:10
10 5 4 sum:19
10 23 1 2 3 4 5 7 sum:55
4 10 12 9 8 2 sum:45

思路分析：

对于sum的求和，从简单的01背包考虑很容易就能得到状态转移方程：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - s[i]] + s[i])；问题在于如何求具体转移的方案，所以我们可以考虑再新建一个数组m记录每次转移所选取的方案，由于我们是顺序记录每次转移的方案，所以我们需要逆序遍历转移的状态才能找到正确的选取的方案。最后我们又需要输出正序的选择的方案，所以我们需要再次逆序输出记录的方案，对此我们可以借助栈的形式，先入栈再出栈就能得到具体的选取方案。对于背包问题具体方案的输出可以参考以下思路。具体解释可见代码注释。

代码：

二维数组的形式：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int s[25];
int dp[10010][10010];
int m[100][1010];
int main() {
	int n, num;
	while (~scanf("%d%d", &n, &num)) {
		for (int i = 1; i <= num; i++)cin >> s[i];
		memset(dp, 0, sizeof(dp));
		memset(m, 0, sizeof(m));
		for (int i = 1; i <= num; i++) { //个数
			for (int j = 0; j <= n; j++) { //空间
				if (j - s[i] >= 0) {//如果空间足够选取s[i]取选或不选的最大值 
					dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - s[i]] + s[i]);
					m[i][j] = 1;//并记录空间为j时的这个状态 
				} else {
					dp[i][j] = dp[i - 1][j];
				}
			}
		}
		int v[1100], top = 0;//v为用数组模拟栈，top为栈顶的指针 
		for (int i = num, j = n; i > 0 && j > 0 ; i--) {//因为dp时是顺序记录的状态，所以我们需要逆序推导一次转移过程 
			if (m[i][j]) {//如果该状态被记录过 
				v[++top] = s[i];//将该方案存入栈中 
				j -= s[i];//空间转移至下一个状态 
			}
		}
		while (top) {//所有数据出栈完成逆序输出 
			cout << v[top--] << ' ';
		}
		cout << "sum:" << dp[num][n] << endl;
	}
return 0;
}

对于dp压维减少空间复杂度的做法：

思路与二维思路一致，因为每次dp[i]的转移都有dp[i-1]有关，所以可以直接压维减少数组维度，但是要注意压维后空间由大到小遍历。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int s[25];
int dp[100000];
int m[100][10000];
int main() {
	int n, num;
	while (~scanf("%d%d", &n, &num)) {
		for (int i = 1; i <= num; i++)cin >> s[i];
		memset(dp, 0, sizeof(dp));
		memset(m, 0, sizeof(m));
		for (int i = 1; i <= num; i++) {
			for (int j = n; j >= s[i]; j--) {
				if (dp[j] < dp[j - s[i]] + s[i]) {
					dp[j] = dp[j - s[i]] + s[i];
					m[i][j] = 1;
				} else m[i][j] = 0;
			}
		}
		int v[1100], top = 0;
		for (int i = num, j = n; i > 0 && j > 0 ; i--) {
			if (m[i][j]) {
				v[++top] = s[i];
				j -= s[i];
			}
		}
		while (top) {
			cout << v[top--] << ' ';
		}
		printf("sum:%d\n", dp[n]);
	}
return 0;
}

GDUT_专题二：E - CD

题目：

思路分析：

代码：