《剑指offer刷题笔记》13、剪绳子【c++详细题解】

题目

给你一根长度为 绳子，请把绳子剪成段（、 都是整数， 并且 ）。

每段的绳子的长度记为。

可能的最大乘积是多少？

例如当绳子的长度是 时，我们把它剪成长度分别为、、、 的三段，此时得到最大的乘积。

样例

输入：8

输出：18

思路

(数学)
这道题目是数学中一个很经典的问题。
下面我们给出证明：

首先把一个正整数 拆分成若干正整数只有有限种拆法，所以存在最大乘积。
假设 ，并且 是最大乘积。

1. 显然1不会出现在其中；
2. 如果对于某个有，那么把拆分成，我们有；
3. 如果，拆成乘积不变，所以不妨假设没有4；
4. 如果有三个以上的2，那么，所以替换成3乘积更大；
5. 综上，选用尽量多的，直到剩下或者时，用。

时间复杂度分析：

当 比较大时， 会被拆分成 个数，我们需要计算这么多次减法和乘法，所以时间复杂度是。

代码

class Solution {
public:
    int maxProductAfterCutting(int n) {
        if(n <= 3 ) return 1*(n-1);  //边界问题,至少要剪成两段
        int res = 1;
        if(n % 3 == 1)  res = 4 , n -= 4;  //将4剪去
        else if(n % 3 == 2)  res = 2, n -= 2;
        while(n)
        {
            res *= 3;
            n -= 3;
        }
        return res;
    }
};

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