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【LeetCode96】不同的二叉搜索树(dp)


1.题目

【LeetCode96】不同的二叉搜索树(dp)_卡特兰数

2.思路

由于要用到dp[n]所以dp数组一开始至少要开到dp(n+1)。

(1)确定状态
首先要看大问题能否划分为子问题:二叉搜索树的中序遍历即从小到大排列的序列,而现在既然给定1~n连续数,假设当前的根结点为j,那么j左边有​​​j-1​​​个连续数,现在的子问题就是要求出这​​j-1​​​能构成多少个二叉搜索树,而且这个值保存(记忆化)下来还能给后面的运算直接使用。
所以可令状态表示用1到i结点组成的二叉搜索树的个数。

(2)转移方程
,​​​j-1​​​是j为头结点的左子树结点数,​​i-j​​是j为头结点的右子树结点数。注意这个式子是累加的过程。

(3)初始条件+边界情况
dp[0]=1。
咋一想可能会觉得是0,但是当i=1,j=1时,​​​dp[i]+=dp[j-1]*dp[i-j]​​里的dp[0]*dp[0]就等于0了(1个结点的二叉搜索树个数为1,而非)故错误;或者说空树也是一颗树。

(4)计算顺序
i从1到n,j从1到i。

3.代码

class Solution {
public:
int numTrees(int n) {
vector<int>dp(n+1);//而非开到n大小
dp[0]=1;
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=i;j++){
dp[i]+=dp[j-1]*dp[i-j];
}
}
return dp[n];//1~n组成的二叉搜索树个数
}
};

4.其他方法

之前学408也有说到结论:n个结点构成的二叉搜索树的种类数为卡特兰数,关于卡特兰数可以参考这篇灰常详细

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