Comet OJ - Contest #11 F arewell（FWT + 状态压缩）

大致题意

做法

考虑到n的大小只有20，所以应该和状态压缩或者说集合按位表示有关。

因此，我们考虑用表示考虑的点的状态为的情况下，所有可能的的方案数。

考虑每一个状态的转移，容斥一下可以得到如下转移方程：

其中表示和之间的边。

考虑到，我们在等式两边同时除以，可以有：

很开心的发现，这已经变成了一个子集卷积的形式，于是我们就可以用FMT或者FWT去快速计算了。

具体来说，考虑用二进制的形式表示集合，我们令，，其中表示内部的连边条数。总的转移方程可以写成：

直接FWT即可，时间复杂度

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define
#define
#define
#define
#define
#define
#define
#define

using namespace std;

const int N=25;
const int M=1048580;
const int mod=998244353;
const int inv2 = (mod + 1) / 2;

int n,m,cnt[M],tot[M],bin[N*N],inv[N*N],f[N][M],g[N][M],ma[N];

int lg(int x) {return std::lower_bound(bin,bin+n,x)-bin;}

int qpow(int x,int y)
{
    int ans=1;
    while (y)
    {
        if (y&1) ans=(LL)ans*x%mod;
        x=(LL)x*x%mod;y>>=1;
    }
    return ans;
}

void FWT_xor(int *a,int opt)
{
    for(int i=1;i<bin[n];i<<=1)
        for(int p=i<<1,j=0;j<bin[n];j+=p)
            for(int k=0;k<i;++k)
            {
                int X=a[j+k],Y=a[i+j+k];
                a[j+k]=(X+Y)%mod;a[i+j+k]=(X+mod-Y)%mod;
                if(opt==-1)a[j+k]=1ll*a[j+k]*inv2%mod,a[i+j+k]=1ll*a[i+j+k]*inv2%mod;
            }
}


int main()
{
    scc(n,m);
    bin[0]=inv[0]=1;
    for (int i=1;i<=max(n,m);i++) bin[i]=bin[i-1]*2%mod,inv[i]=qpow(bin[i],mod-2);
    for (int i=1;i<=m;i++)
    {
        int x,y;scc(x,y);
        ma[x]|=bin[y-1];ma[y]|=bin[x-1];
    }
    for (int i=1;i<bin[n];i++) cnt[i]=cnt[i-(i&(-i))]+1,tot[i]=tot[i-(i&(-i))]+cnt[ma[lg(i&(-i))+1]&i];
    for (int i=0;i<bin[n];i++) g[cnt[i]][i]=(cnt[i]&1)?inv[tot[i]]:mod-inv[tot[i]];
    for (int i=0;i<=n;i++) FWT_xor(g[i],1);
    f[0][0]=1;
    FWT_xor(f[0],1);
    for (int i=0;i<=n;i++)
    {
        for (int j=1;j<=n-i;j++)
            for (int k=0;k<bin[n];k++)
                (f[i+j][k]+=(LL)f[i][k]*g[j][k]%mod)%=mod;
    }
    FWT_xor(f[n],-1);
    printf("%d\n",(LL)f[n][bin[n]-1]*qpow(2*qpow(3,mod-2),m)%mod);
    return 0;
}