算法笔记5.7 拓展欧几里得算法

1.拓展欧几里得算法

求： 不定方程ax+by=gcd(a,b)的整数解   其中a,b均为整数

核心代码：

int exGcd(int a,int b,int& x,int& y){
  if(b==0){
    x=1;
    y=0;
    return a;
  }
  int g=exGcd(b,a%b,x,y);
  int temp=x;
  x=y;
  y=temp-(a/b)*y;
  return g;
 }

样例：

#include<iostream>     
#include<cstdio>
using namespace std;

/*
 * 拓展欧几里得算法
 * ax+by=gcd(a,b)的解
 *
 * return gcd(a,b)
 * 不论a,b初值如何，最终返回的都是方程的一个解
 */

int exGcd(int a,int b,int& x,int& y){
  if(b==0){
    x=1;
    y=0;
    return a;
  }
  int g=exGcd(b,a%b,x,y);
  int temp=x;
  x=y;
  y=temp-(a/b)*y;
  return g;
 }
int main(){
  int a,b,x,y;
  cout<<"请输入a,b：";
  while(cin>>a>>b){
    int gcd=exGcd(a,b,x,y);
    printf("%dx+%dy=%d\n该不定方程的解如下：\n", a,b,gcd);
    int Tx=b/gcd;
    int Ty=a/gcd;
    x=(x%Tx+Tx)%Tx;
    y=(gcd-a*x)/b;
    printf("x最小非负整数解:x=%d y=%d\n",x,y);
    printf("通解:x=%d+%d*K  y=%d-%d*K\n",x,Tx,y,Ty);
  }
  return 0; 
}

2.ax+by=c  普通不定方程的求解

普通不定方程：ax+by=c  均为整数 
c%gcd(a,b)==0  否则无解

(x0,y0)是ax+by=gcd(a,b)的一组解 并设:gcd=gcd(a,b)
则(x,y)=(x0*c/gcd,y0*c/gcd)  是不定方程ax+by=c的一组解
通解：
    x'=x+b/gcd*k=cx0/gcd+b/gcd*k
    y'=y+a/gcd*k=cy0/gcd-a/gcd*k     
    k为任意整数

#include<iostream>     
using namespace std;

int exGcd(int a,int b,int& x,int& y){
  if(b==0){
    x=1;
    y=0;
    return a;
  }
  int g=exGcd(b,a%b,x,y);
  int temp=x;
  x=y;
  y=temp-(a/b)*y;
  return g;
 }

int main(){
  int a,b,x,y,c;
  cout<<"请输入a,b：";
  while(cin>>a>>b>>c){
    int gcd=exGcd(a,b,x,y);
    if(c%gcd!=0){
      printf("%dx+%dy=%d\n该不定方程无解\n", a,b,c);
      continue;
    }
    printf("%dx+%dy=%d\n该不定方程的解如下：\n", a,b,c);
    int Tx=b/gcd;
    int Ty=a/gcd;
    x=c*x/gcd;
    y=c*y/gcd;
    x=(x%Tx+Tx)%Tx;
    y=(c-a*x)/b;
    printf("x最小非负整数解:x=%d y=%d\n",x,y);
    printf("通解:x=%d+%d*K  y=%d-%d*K\n",x,Tx,y,Ty);
  }
  return 0; 
}


/*
 * 拓展欧几里得算法
 * ax+by=c的解
 *
 * return gcd(a,b)
 * 不论a,b初值如何，最终返回的都是方程的一个解
 */

3.同余式ax≡c(mod m)的求解

若：    (a-b)%m==0
则：    a与b模m同余
同余式：a≡b(mod m) 
-------------------------------------------------------
    ax≡c(mod m)
即：(ax-c)%m=0
    ax-c=my   //y为任意整数
    ax+my=c      //另y=-y
-------------------------------------------------------
转化为问题二了，且只用求x即可
    ax+my=gcd(a,m)解为x0,y0
则:    ax+my=c
    一个特解为：x=cx0/gcd(a,m), y=cy0/gcd(a,m)
x通解：x'=x+m/gcd(a,m)*k
         =cx0/gcd(a,m)+m/gcd(a,m)*k  //完全由a,m,c决定
         

#include<iostream>     
using namespace std;

int exGcd(int a,int b,int& x,int& y){
  if(b==0){
    x=1;
    y=0;
    return a;
  }
  int g=exGcd(b,a%b,x,y);
  int temp=x;
  x=y;
  y=temp-(a/b)*y;
  return g;
 }

int main(){
  int a,c,m,x,y;
  printf("请输入a,c,m:");
  while(cin>>a>>c>>m){
    int gcd=exGcd(a,m,x,y);
    if(c%gcd!=0){
      printf("%d≡%d(mod%d)\n", a,c,m);
      printf("即:(%dx-%d)%%%d=0无解\n",a,c,m);
      continue;
    }
    x=c*x/gcd;
    printf("%d≡%d(mod%d)\n", a,c,m);
    printf("即:(%dx-%d)%%%d=0的解\n",a,c,m);
    printf("特解:x=%d\n", x);
    printf("通解:x=%d+%d*k\n", x,m/gcd);
  }
  
  return 0;
}