【第30天】给定一个整数 n ，求它的因数之和

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学习指引

• ​​序、专栏前言​​
• ​​一、【例题1】​​

• ​​1、题目描述​​
• ​​2、解题思路​​
• ​​3、模板代码​​

• ​​1）朴素O(n)做法​​
• ​​2）优化根号n做法​​
• ​​3)约数之和定理​​

• ​​4、代码解析​​

• ​​二、【例题2】​​

• ​​1、题目描述​​
• ​​2、解题思路​​
• ​​3、模板代码​​

• ​​三、推荐专栏​​
• ​​四、课后习题​​

序、专栏前言

   本专栏开启，目的在于帮助大家更好的掌握学习​​Java​​​，特别是一些​​Java学习者​​​难以在网上找到系统地算法学习资料帮助自身入门算法
   但最最主要的还是需要独立思考，对于本专栏的所有内容，能够进行完全掌握，自己完完全全将代码写过一遍，对于算法入门肯定是没有问题的。
   算法的学习肯定不能缺少总结，这里我推荐大家可以到​高校算法社区​将学过的知识进行打卡，以此来进行巩固以及复习。
  学好算法的唯一途径那一定是题海战略，大量练习的堆积才能练就一身本领。专栏的任何题目我将会从【题目描述】【解题思路】【模板代码】【代码解析】等四板块进行讲解。

一、【例题1】

1、题目描述

，求它的约数之和，答案对取模

2、解题思路

可以根据求因数个数的代码来求，有和复杂的做法。
也可以约数之和定理求解，重点讲解该定理

3、模板代码

1）朴素O(n)做法

import java.util.*;

public class Main {
    static int mod=1000000007;
    public static void main(String[] args){
        Scanner sc=new Scanner(System.in);
        int n=sc.nextInt();
        long ans=0;
        for (int i = 1; i <=n; i++) {
            if (n%i==0) ans=(ans+i)%mod;
        }
        System.out.println(ans);
    }
}

2）优化根号n做法

import java.util.*;

public class test {
    static int mod=1000000007;
    public static void main(String[] args){
        Scanner sc=new Scanner(System.in);
        int n=sc.nextInt();
        long ans=0;
        for (int i = 1; i <=n/i; i++) {
            if (n%i==0){
                if (i!=n/i){
                    ans=(ans+i)%mod;
                    ans=(ans+n/i)%mod;
                }else{
                    ans=(ans+i)%mod;
                }
            }
        }
        System.out.println(ans);
    }
}

3)约数之和定理

import java.util.*;

public class test {
    static int mod=1000000007;
    public static void main(String[] args){
        Scanner sc=new Scanner(System.in);
        int n=sc.nextInt();
        long sum=1;
        for (int i = 2; i <=n/i; i++) {
            if (n%i==0){
                int c=0;
                while (n%i==0){
                    c++;
                    n/=i;
                }
                long t=1;
                while (c-->0) t=(t*i+1)%mod;
                sum=(sum*t)%mod;
            }
        }
        if (n>1) sum=(sum*(n+1)%mod);
        System.out.println(sum);
    }
}

4、代码解析

• 前面讲过，对于一个正整数，由算式基本定理可得：
  
  那么记的约束之和为,则有：
  
• 证明:
  首先计算的约数之和，可知为
  其次再算的约数之和，可知为
  …
  最后算出的约数之和，可知为
  根据乘法原理可得，的约数之和
  

二、【例题2】

1、题目描述

个正整数 ，请你输出这些数的乘积的约数之和，答案对

2、解题思路

在上一题上，由一个数的因数之和拓展为多个数，但本质上乘积的最后仍然为一个数。
我们可以将这个数的都进行质因数的分解，统计每个质因数出现的总次数，最后使用约数之和定理即可。

3、模板代码

import java.util.HashMap;
import java.util.Map;
import java.util.Scanner;

public class Main {
    static final int mod = 1000000007;
    static Map<Integer, Integer> map = new HashMap<>();
    static long ans = 1;
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n = sc.nextInt();
        while (n-- > 0) {
            int a = sc.nextInt();
            getNums(a);
        }
        for (Integer a : map.keySet()) {
           long sum=1;
           int k=map.get(a);
           while(k-->0) sum=(sum*a+1)%mod;
           ans=(ans*sum)%mod;
        }
        System.out.print(ans);
    }
    //求质因数公式
    static void getNums(int n) {
        for (int i = 2; i <= n / i; i++) {
            while (n % i == 0) {
                map.put(i, map.getOrDefault(i, 0) + 1);
                n /= i;
            }
        }
        if (n > 1) map.put(n, map.getOrDefault(n, 0) + 1);
    }
}

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四、课后习题