[动态规划]DP26 跳跃游戏(一)-简单

​​DP26 跳跃游戏(一)​​

描述

给定一个非负整数数组nums，假定最开始处于下标为0的位置，数组里面的每个元素代表下一跳能够跳跃的最大长度。如果能够跳到数组最后一个位置，则输出true，否则输出false。

数据范围:

输入描述：

第一行输入一个正整数 n ，表示数组 nums 的长度

第二行输入 n 个整数表示数组的每个元素

输出描述：

输出 true 或者 false

示例1

输入：

7
2 1 3 3 0 0 100

输出：

true

说明：

首先位于nums[0]=2，然后可以跳2步，到nums[2]=3的位置，再跳到nums[3]=3的位置，再直接跳到nums[6]=100，可以跳到最后，输出true

示例2

输入：

7
2 1 3 2 0 0 100

输出：

false

说明：

无论怎么样，都跳不到nums[6]=100的位置

题解

动态规划解法

根据题意，只要我们可以从任意的一个台阶调到最后一个台阶就输出true。实际上就是求到达任意索引i的时候，可以跳跃到的最大台阶的索引。动态规划步骤如下：

1. dp[i]表示从前面的[0,i]中的台阶可以跳到的最大索引值
2. 初始化：dp[0]=v[0]
3. 递推关系:dp[i]=max(dp[i-1],i+v[i])，表示从[0,i-1]的台阶可以的高度和当前台阶可以跳的高度中选取一个最大值

注意：

1. 对于任意的索引i，如果dp[i-1] < i，表示不可以从[0,i-1]的台阶跳到索引为i的台阶，此时直接返回false
2. 对于任意的索引，如果dp[i] >= v.size() - 1，表示从此台阶就可以跳到最后一个台阶，此时直接返回true

代码如下：

#include <bits/stdc++.h>

bool solve(const std::vector<int> &v)
{
  if (v.size() <= 1)
  {
    return true;
  }

  // dp[i]表示从i点可以跳跃到的最大索引
  std::vector<int> dp(v.size(), 0);
  dp[0] = v[0];
  for (int i = 1; i < v.size(); ++i)
  {
    if (dp[i - 1] < i)
    {
      return false;
    }
    dp[i] = std::max(dp[i - 1], i + v[i]);
    if (dp[i] >= v.size() - 1)
    {
      return true;
    }
  }
  return true;
}

int main()
{
  int n;
  std::cin >> n;
  std::vector<int> v(n);
  for (int i = 0; i < n; ++i)
  {
    std::cin >> v[i];
  }

  std::cout << (solve(v) ? "true" : "false") << std::endl;
  return 0;
}

贪心解法

根据动态规划解法的分析，实际上我们可以使用贪心解法来解决这个问题，不必引入dp数组(实际上，贪心解法也是动态规划的一种~)。

bool solve_2(const std::vector<int> &v)
{
  if (v.size() <= 1)
  {
    return true;
  }

  std::vector<int> dp(v.size(), 0);
  int max_hight = v[0];// 表示当前可以跳到的最大高度
  for (int i = 1; i < v.size(); ++i)
  {
    if (max_hight < i)
    {
      return false;
    }
    max_hight = std::max(max_hight, i + v[i]);
    if (max_hight >= v.size() - 1)
    {
      return true;
    }
  }
  return true;
}