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【面试高频题】可拓展变形的「区间求和」经典题


题目描述

这是 LeetCode 上的 ​​1893. 检查是否区域内所有整数都被覆盖​​ ,难度为 简单

Tag : 「模拟」、「树状数组」、「线段树」

给你一个二维整数数组 ​​ranges​​​ 和两个整数 ​​left​​​ 和 ​​right​​​。每个  表示一个从  到  的 闭区间 。

如果闭区间  内每个整数都被 ​​​ranges​​​ 中 至少一个 区间覆盖,那么请你返回 ​​true​​​,否则返回 ​​false​​。

已知区间 ,如果整数 ​​​x​​​ 满足 ,那么我们称整数 ​​​x​​ 被覆盖了。

示例 1:

输入:ranges = [[1,2],[3,4],[5,6]], left = 2, right = 5

输出:true

解释:2 到 5 的每个整数都被覆盖了:
- 2 被第一个区间覆盖。
- 3 和 4 被第二个区间覆盖。
- 5 被第三个区间覆盖。

示例 2:

输入:ranges = [[1,10],[10,20]], left = 21, right = 21

输出:false

解释:21 没有被任何一个区间覆盖。

提示:

模拟

一个简单的想法是根据题意进行模拟,检查 中的每个整数,如果检查过程中发现某个整数没被 中的闭区间所覆盖,那么直接返回 ​​​False​​​,所有数值通过检查则返回 ​​True​​。

代码:

class Solution {
public boolean isCovered(int[][] rs, int l, int r) {
for (int i = l; i <= r; i++) {
boolean ok = false;
for (int[] cur : rs) {
int a = cur[0], b = cur[1];
if (a <= i && i <= b) {
ok = true;
break;
}
}
if (!ok) return false;
}
return true;
}
}
  • 时间复杂度:令之间整数数量为,长度为。整体复杂度为
  • 空间复杂度:

树状数组

针对此题,可以有一个很有意思的拓展,将本题难度提升到【中等】甚至是【困难】。

将查询 修改为「四元查询数组」,每个 包含四个指标 :代表询问 中的每个数是否在 中 的闭区间所覆盖过。

如果进行这样的拓展的话,那么我们需要使用「持久化树状数组」或者「主席树」来配合「容斥原理」来做。

基本思想都是使用 的计数情况减去 的计数情况来得出 的计数情况。

回到本题,由于数据范围很小,只有 ,我们可以使用「树状数组」进行求解:

  • ​void add(int x, int u)​​​:对于数值出现次数进行操作;
  • ​int query(int x)​​​:查询某个满足的数值的个数。

那么显然,如果我们需要查询一个数值 是否出现过,可以通过查询 来得知。

代码:

class Solution {
int n = 55;
int[] tr = new int[n];
int lowbit(int x) {
return x & -x;
}
void add(int x, int u) {
for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) tr[i] += u;
}
int query(int x) {
int ans = 0;
for (int i = x; i > 0; i -= lowbit(i)) ans += tr[i];
return ans;
}
public boolean isCovered(int[][] rs, int l, int r) {
for (int[] cur : rs) {
int a = cur[0], b = cur[1];
for (int i = a; i <= b; i++) {
add(i, 1);
}
}
for (int i = l; i <= r; i++) {
int cnt = query(i) - query(i - 1);
if (cnt == 0) return false;
}
return true;
}
}
  • 时间复杂度:令之间整数数量为,为,常数固定为。建树复杂度为,查询查询复杂度为。整体复杂度为
  • 空间复杂度:

树状数组(去重优化)

在朴素的「树状数组」解法中,我们无法直接查询 区间中被覆盖过的个数的根本原因是「某个值可能会被重复添加到树状数组中」。

因此,一种更加优秀的做法:在往树状数组中添数的时候进行去重,然后通过 直接得出 范围内有多少个数被添加过。

这样的 ​​Set​​​ 去重操作可以使得我们查询的复杂度从 下降到 。


由于数值范围很小,自然也能够使用数组来代替 ​​Set​​ 进行标记(见 P2)


代码:

class Solution {
int n = 55;
int[] tr = new int[n];
int lowbit(int x) {
return x & -x;
}
void add(int x, int u) {
for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) tr[i] += u;
}
int query(int x) {
int ans = 0;
for (int i = x; i > 0; i -= lowbit(i)) ans += tr[i];
return ans;
}
public boolean isCovered(int[][] rs, int l, int r) {
Set<Integer> set = new HashSet<>();
for (int[] cur : rs) {
int a = cur[0], b = cur[1];
for (int i = a; i <= b; i++) {
if (!set.contains(i)) {
add(i, 1);
set.add(i);
}
}
}
int tot = r - l + 1, cnt = query(r) - query(l - 1);
return tot == cnt;
}
}
class Solution {
int n = 55;
int[] tr = new int[n];
boolean[] vis = new boolean[n];
int lowbit(int x) {
return x & -x;
}
void add(int x, int u) {
for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) tr[i] += u;
}
int query(int x) {
int ans = 0;
for (int i = x; i > 0; i -= lowbit(i)) ans += tr[i];
return ans;
}
public boolean isCovered(int[][] rs, int l, int r) {
for (int[] cur : rs) {
int a = cur[0], b = cur[1];
for (int i = a; i <= b; i++) {
if (!vis[i]) {
add(i, 1);
vis[i] = true;
}
}
}
int tot = r - l + 1, cnt = query(r) - query(l - 1);
return tot == cnt;
}
}
  • 时间复杂度:令之间整数数量为,为,常数固定为。建树复杂度为,查询查询复杂度为。整体复杂度为
  • 空间复杂度:

线段树(不含“懒标记”)

更加进阶的做法是使用「线段树」来做,与「树状数组(优化)」解法一样,线段树配合持久化也可以用于求解「在线」问题。

与主要解决「单点修改 & 区间查询」的树状数组不同,线段树能够解决绝大多数「区间修改(区间修改/单点修改)& 区间查询」问题。

对于本题,由于数据范围只有 ,因此我们可以使用与「树状数组(优化)」解法相同的思路,实现一个不包含“懒标记”的线段树来做(仅支持单点修改 & 区间查询)。

代码:

class Solution {
// 代表 [l, r] 区间有 cnt 个数被覆盖
class Node {
int l, r, cnt;
Node (int _l, int _r, int _cnt) {
l = _l; r = _r; cnt = _cnt;
}
}
int N = 55;
Node[] tr = new Node[N * 4];
void pushup(int u) {
tr[u].cnt = tr[u << 1].cnt + tr[u << 1 | 1].cnt;
}
void build(int u, int l, int r) {
if (l == r) {
tr[u] = new Node(l, r, 0);
} else {
tr[u] = new Node(l, r, 0);
int mid = l + r >> 1;
build(u << 1, l, mid);
build(u << 1 | 1, mid + 1, r);
pushup(u);
}
}
// 从 tr 数组的下标 u 开始,在数值 x 的位置进行标记
void update(int u, int x) {
if (tr[u].l == x && tr[u].r == x) {
tr[u].cnt = 1;
} else {
int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1;
if (x <= mid) update(u << 1, x);
else update(u << 1 | 1, x);
pushup(u);
}
}
// 从 tr 数组的下标 u 开始,查询 [l,r] 范围内有多少个数值被标记
int query(int u, int l, int r) {
if (l <= tr[u].l && tr[u].r <= r) return tr[u].cnt;
int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1;
int ans = 0;
if (l <= mid) ans += query(u << 1, l, r);
if (r > mid) ans += query(u << 1 | 1, l, r);
return ans;
}
public boolean isCovered(int[][] rs, int l, int r) {
build(1, 1, N);
for (int[] cur : rs) {
int a = cur[0], b = cur[1];
for (int i = a; i <= b; i++) {
update(1, i);
}
}
int tot = r - l + 1 , cnt = query(1, l, r);
return tot == cnt;
}
}
  • 时间复杂度:令之间整数数量为,为,常数固定为。建树复杂度为,查询查询复杂度为。整体复杂度为
  • 空间复杂度:

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 ​​No.1893​​ 篇,系列开始于 2021/01/01,截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目,部分是有锁题,我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面,除了讲解解题思路以外,还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码,我建立了相关的仓库:​​github.com/SharingSour…​​ 。

在仓库地址里,你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其他优选题解。

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