【回溯算法】图的m着色问题-CFANZ编程社区

【问题描述】

给定无向连通图G=(V, E)和m种不同的颜色，用这些颜色为图G的各顶点着色，每个顶点着一种颜色。是否有一种着色法使G中相邻的两个顶点有不同的颜色?

这个问题是图的m可着色判定问题。若一个图最少需要m种颜色才能使图中每条边连接的两个顶点着不同颜色，则称这个数m为该图的色数。求一个图的色数m的问题称为图的m可着色优化问题。

编程计算：给定图G=(V, E)和m种不同的颜色，找出所有不同的着色法和着色总数。

输入

第一行是顶点的个数n（2≤n≤10），颜色数m（1≤m≤n）。

接下来是顶点之间的相互关系：a b

表示a和b相邻。当a，b同时为0时表示输入结束。

输出

输出所有的着色方案，表示某个顶点涂某种颜色号，每个数字的后面有一个空格。

最后一行是着色方案总数。

【算法分析】

对m种颜色编号为1，2，…，m，由于每个顶点可从m种颜色中选择一种颜色着色，如果无向连通图G=(V, E)的顶点数为n，则解空间的大小为m的n次方种，解空间是非常庞大的，它是一棵m叉树。

当n＝3，m＝3时的解空间树：

图的m着色问题的约束函数是相邻的两个顶点需要着不同的颜色，但是没有限界函数。

假设无向连通图G=(V, E)的邻接矩阵为a，如果顶点i和j之间有边，则a[i][j]=1，否则a[i][j]=0。

设问题的解向量为X (x1, x2 , …, xm) ，其中xi∈{1, 2, …, m}，表示顶点i所着的颜色是x[i]，

即解空间的每个结点都有m个儿子。

【代码部分】

//图的m着色问题回溯算法的数据结构

#define NUM 100
int n;				//图的顶点数量
int m;			//可用颜色数量
int a[NUM][NUM];	//图的邻接矩阵
int x[NUM];		//当前的解向量
int sum ;			//已经找到的可m着色的方案数量

//图的m着色问题回溯算法的实现

//形参t是回溯的深度，从1开始
void BackTrack(int t )
{
　　int i;
　　//到达叶子结点，获得一个着色方案
　　if( t > n )
　　{
　　　　sum ++ ;
　　　　for(i=1; i<=n ;i++)
　　　　　　printf("%d ",x[i]);
　　　　printf("\n");
　　}
　　else 
　　　　//搜索当前扩展结点的m个孩子
　　　　for(i=1; i<=m; i++ )
　　　　{
　　　　　　x[t] = i;
　　　　　　if( Same(t) )　BackTrack(t+1);
　　　　　　x[t] = 0;
　　　　}
}

//检查相邻结点的着色是否一样的约束函数

//形参t是回溯的深度
bool Same(int t)
{
　　int i;
　　for(i=1; i<=n; i++ )
　　　　if( (a[t][i] == 1) && (x[i] == x[t]))
　　　　　　return false;
　　return true;
}

#include <iostream>
#include<bits/stdc++.h>
#define N 100
#define INF 0x3f3f3f3f
#define IOS ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0)
#define rep(i,a,n) for(int i=a;i<=n;i++)
typedef long long ll;
using namespace std;
#define NUM 100
int n;//图的顶点数量
int m;//可用颜色数量
int a[NUM][NUM];//图的邻接矩阵
int x[NUM];//当前的解向量
int sum ;//已经找到的可m着色的方案数量
bool Same(int t)//约束函数
{
    int i;
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        if((a[t][i]==1)&&(x[i]==x[t]))//这一行，相邻的
            return false;
    }
    return true;
}
void Backtrack(int t)//搜索t层结点
{
    int i;
    if(t>n)
    {
        sum++;
        for(i=1;i<=n;i++)
        {
            cout<<x[i]<<" ";
        }
        cout<<endl;
    }
    else
    {
        for(i=1;i<=m;i++)
        {
            x[t]=i;//颜色值
            if(Same(t))Backtrack(t+1);
            x[t]=0;//恢复
        }
    }
}

int main()
{
    cin>>n>>m;
    int i,j;
    while(cin>>i>>j&&i&&j)
    {
        a[i][j]=a[j][i]=1;
    }
   Backtrack(1);
   cout<<sum<<endl;
}