当积分区域 Ω 关于坐标面对称， 被积函数 f(x, y, z) 具有奇偶性时， 利用这些特点可以简化三重积分的计算， 这样的简算也称为对称奇偶性。
一. 假设 Ω 关于Oxy平面对称， Oxy平面将 Ω 对称地分为
和
两部分。
（1）如果f(x, y, z) 关于z是奇函数， 即总存在 f(x, y, -z) = -f(x, y, z)
则
（2） 如果 f（x, y, z）关于z是偶函数， 即总存在 f(x, y, -z) = f(x, y, z), 则
二. 假设 Ω 关于Oxz平面对称， Oxz平面将 Ω 对称地分为
和
两部分。
（1）如果f(x, y, z) 关于y是奇函数， 即总存在 f(x, -y, z) = -f(x, y, z)
则
（2） 如果 f（x, y, z）关于y是偶函数， 即总存在 f(x, -y, z) = f(x, y, z), 则
三. 假设 Ω 关于Oyz平面对称， Oxz平面将 Ω 对称地分为
和
两部分。
（1）如果f(x, y, z) 关于x是奇函数， 即总存在 f(-x, y, z) = -f(x, y, z)
则
（2） 如果 f（x, y, z）关于 x 是偶函数， 即总存在 f(-x, y, z) = f(x, y, z), 则
四. 结论： 在重积分中，讨论被积函数f 的奇偶性，不是看函数 f是否关于直角坐标的原点
（或y轴）对称， 这不是我们分析的方向 。 绝不能用一元函数判断奇偶性的老方法！！
正确方法：
1 先判断积分区域 关于哪个坐标面对称，
2 然后再将f中的x 代替为-x, 或者是y代替为-y, 或者是z 代替为-z.
3. 再看f(-x, y, z) 或者f(x, -y, z) 或者f(x, y, -z)与哪个函数相等。
简要地说： 先看积分区域， 再将变量替换为相反值， 再看结果。
三重积分的奇偶性判断， 我们必须理解， 必须掌握！
看几个例题
例1：简算三重积分
解：
被积函数 f(x, y, z) = zsinxsiny² 关于变量x是奇函数. f(-x, y, z) = -f(x, y, z). 所以原积分
