“科林明伦杯”哈尔滨理工大学第十届程序设计竞赛——D.扔硬币【条件概率 & 乘法逆元】（附条件概率推导过程）

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题解

• 我们要求的是一个条件概率：在事件B（：至少m个反面）发生的情况下，求事件A（：恰好k个正面）发生的概率。
• 即求条件概率，由条件概率公式得：
• 实际上就是P(A)，所以所求变成了
• 
• 。
• 那么最后我们得到
• 我们可以直接根据公式计算：
• 那么我们只需要预处理一下阶乘数组即可。
• 但是这样会超时，注意数据范围。
• 实际上，的分子可以转化为：。这样就可以了
• 注意一下乘法逆元即可。
• 其实条件概率还有另一种计算方式：在缩小样本空间内计算：，这种方法的计算结果就是上述推导最后得到的结果。

AC-Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAXN = 1e5 + 7;
const int mod = 1e9 + 7;

ll q_pow(ll a, ll b, ll mod) { // 快速幂
    ll res = 1LL;
    while (b) {
        if (b & 1)  res = (res * a) % mod;
        a = (a * a) % mod;
        b >>= 1;
    }
    return res % mod;
}

ll inv(ll x) {
    return q_pow(x, mod - 2, mod);
}

ll factorial[MAXN] = { 1 }; // 阶乘

inline ll C(ll n, ll k) {
    return factorial[n] * inv(factorial[n - k] * factorial[k]%mod) % mod;
}

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); cout.tie(0);
    factorial[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= MAXN - 7; ++i)
        factorial[i] = factorial[i - 1] * i % mod;;
    int t;  cin >> t;
    while (t--) {
        ll n, m, k;    cin >> n >> m >> k;
        if (k + m > n) {
            cout << 0 << endl;
            continue;
        }
        ll a = C(n, k), b = q_pow(2, n, mod);
        for (int i = 0; i < m; ++i) 
            b = (b - C(n, i) + mod) % mod;
        cout << a * inv(b) % mod << endl;
    }
}